Volatilidad

La volatilidad mide cuánto se mueven los retornos alrededor de su promedio. Dos carteras pueden ganar 10% en el año, pero la que llegó ahí con menos sobresaltos es mejor inversión. Aquí aprendes a calcularla paso a paso.

Qué significa cada símbolo

• t = el número del día (día 1, día 2, …). t − 1 = el día anterior.
• Pₜ = el precio de cierre del día t. Pₜ₋₁ = el precio de cierre del día anterior.
• rₜ = el retorno de ese día, como decimal (0.02 = 2%).
• n = cuántos retornos tienes.
• Σ (sigma mayúscula) = "suma todo": sumar el valor de cada día desde t = 1 hasta t = n.
• r̄ (r con barra) = el retorno promedio.
• s² = la varianza. s = la desviación estándar.
• σ (sigma minúscula) = la volatilidad, la misma desviación estándar.
• √ = raíz cuadrada. 252 = días de bolsa en un año.

Las fórmulas

1. Retorno diario (cambio porcentual del precio de un día al siguiente):

$$r_t = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1$$

2. Retorno promedio:

$$\bar{r} = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n} r_t$$

3. Varianza muestral (qué tan lejos están, en promedio, los retornos de su promedio; se divide entre n − 1):

$$s^2 = \frac{\sum_{t=1}^{n} (r_t - \bar{r})^2}{n-1}$$

4. Volatilidad = desviación estándar (la raíz de la varianza, en las mismas unidades que el retorno):

$$\sigma_{\text{diaria}} = \sqrt{s^2}$$

5. Volatilidad anualizada (se expresa en base anual para poder comparar):

$$\sigma_{\text{anual}} = \sigma_{\text{diaria}} \times \sqrt{252}$$

Hay unos 252 días de bolsa al año. Se usa la raíz cuadrada porque la varianza crece en proporción al tiempo; la desviación estándar, que es su raíz, crece con la raíz del tiempo.

Procedimiento paso a paso

1. Escribe los precios de cierre de varios días seguidos.
2. Calcula el retorno de cada día (fórmula 1).
3. Calcula el promedio de los retornos.
4. Para cada día calcula la desviación (retorno − promedio) y elévala al cuadrado.
5. Suma los cuadrados y divide entre n − 1: es la varianza.
6. Saca la raíz cuadrada: es la volatilidad diaria. Multiplica por √252 (≈ 15.87) para la anual.

Ejemplo resuelto

Precios de cierre de una acción en 6 días: 100, 102, 101, 103, 104, 102.

Datos: P₀ = 100, P₁ = 102, P₂ = 101, P₃ = 103, P₄ = 104, P₅ = 102; así que n = 5 retornos. Sustituimos la fórmula 1 para el día 1: r₁ = P₁ ÷ P₀ − 1 = 102 ÷ 100 − 1 = 0.02 = +2.00%. Con los otros días se hace igual.

Día	Precio	Retorno r	Desviación (r − 0.41%)	Desviación²
1	102	102 ÷ 100 − 1 = +2.00%	+1.59	2.53
2	101	101 ÷ 102 − 1 = −0.98%	−1.39	1.93
3	103	103 ÷ 101 − 1 = +1.98%	+1.57	2.47
4	104	104 ÷ 103 − 1 = +0.97%	+0.56	0.32
5	102	102 ÷ 104 − 1 = −1.92%	−2.33	5.44

1. Promedio: (2.00 − 0.98 + 1.98 + 0.97 − 1.92) ÷ 5 = 2.05 ÷ 5 = 0.41%
2. Suma de desviaciones²: 2.53 + 1.93 + 2.47 + 0.32 + 5.44 = 12.68
3. Varianza: 12.68 ÷ (5 − 1) = 3.17 (en %²)
4. Volatilidad diaria: √3.17 = 1.78%
5. Volatilidad anual: 1.78% × 15.87 = 28.3%

Cómo se lee: en un día "normal" esta acción se aleja de su promedio unos 1.78 puntos porcentuales. Con solo 5 retornos la estimación es poco fiable; en la práctica se usan 30, 60 o más días.

Mismo retorno, distinto riesgo

Dos carteras con retornos mensuales (%):

	Mes 1	Mes 2	Mes 3	Mes 4	Mes 5	Promedio	Volatilidad
A	1.0	0.8	1.2	0.9	1.1	1.0%	0.16 pp
B	4	−2	3	−1	1	1.0%	2.55 pp

Las dos ganan 1% al mes de promedio, pero B llega con subidas y bajadas fuertes (volatilidad 16 veces mayor). A es una inversión mucho más cómoda de sostener.

Con tus herramientas

• Excel o Google Sheets: pon los retornos en una columna y usa =DESVEST.M(A1:A5) (muestral). Anualiza con =DESVEST.M(A1:A5)*RAIZ(252).
• Calculadora científica: modo estadístico, tecla σₙ₋₁ (desviación muestral).

Errores comunes

• Dividir entre n en vez de n − 1 (en muestras pequeñas subestima).
• Calcular la desviación de los precios en vez de los retornos.
• Olvidar anualizar al comparar con otras carteras.
• Creer que volatilidad alta es "mala" siempre: es incertidumbre, tanto hacia arriba como hacia abajo.

Ejercicio para ti

Una acción cierra en 50, 51, 49, 50 y 52 en cinco días seguidos. Calcula los cuatro retornos diarios, su promedio, la volatilidad diaria y la anualizada.

Respuesta: retornos: 51 ÷ 50 − 1 = +2.00%; 49 ÷ 51 − 1 = −3.92%; 50 ÷ 49 − 1 = +2.04%; 52 ÷ 50 − 1 = +4.00%. Promedio = 1.03%. Varianza (÷ 3) = 11.77; volatilidad diaria = √11.77 = 3.43%; anualizada = 3.43% × 15.87 = 54.5%.