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2. Evaluar una inversión · Lección 4 de 6

Anualidades: cuotas de préstamo y ahorro para el retiro

Una anualidad es una serie de pagos iguales a intervalos regulares: una cuota de préstamo, un aporte mensual a un fondo de ahorro. Aquí aprendes las dos fórmulas que lo resuelven todo: ahorrar (valor futuro) y pagar un préstamo (valor presente).

Las fórmulas (pagos al final de cada periodo)

1. Cuánto acumulo ahorrando A cada periodo (valor futuro de una anualidad):

VF=A×(1+i)n−1i\text{VF} = A \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}

2. Cuánto vale hoy una serie de pagos A (valor presente de una anualidad):

VP=A×1−(1+i)−ni\text{VP} = A \times \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

3. Cuánto pago cada periodo por un préstamo P (la cuota; sale de despejar A en la fórmula 2):

A=P×i1−(1+i)−nA = P \times \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}

Qué significa cada símbolo:

  • A = el pago (o aporte) que repites cada periodo, siempre del mismo monto.
  • VF = valor futuro: cuánto acumulas al final de todos los aportes.
  • VP = valor presente: cuánto valen hoy todos los pagos futuros juntos.
  • P = el monto del préstamo (lo que recibes hoy y debes devolver).
  • i = tasa por periodo en decimal (si la tasa es anual y pagas por mes: i = tasa anual ÷ 12).
  • n = número total de pagos (años × 12 si pagas por mes).
  • La fracción grande (por ejemplo ((1+i)ⁿ − 1) ÷ i) es el factor de la anualidad: un número que dice cuántas veces "vale" cada pago de A. Se calcula primero y luego se multiplica por A.
  • (1+i)⁻ⁿ (exponente negativo) es lo mismo que 1 ÷ (1+i)ⁿ. Por ejemplo, 1.01⁻³⁶ = 1 ÷ 1.01³⁶.

Regla de oro: tasa por periodo y número de periodos siempre en la misma unidad (mes con mes).

A. Ahorro para el retiro

Ejemplo: ahorras $200 al mes durante 40 años (desde los 22 hasta los 62) en un fondo que rinde 8% anual, capitalizado mensualmente.

Datos: A = 200 (el aporte mensual) · tasa anual 8% · aportes mensuales durante 40 años. Incógnita: VF. Fórmula: VF = A × ((1+i)ⁿ − 1) ÷ i.

  1. Tasa por mes: i = 0.08 ÷ 12 = 0.006667 (el 8% en decimal, repartido en 12 meses)
  2. Número de aportes: n = 40 × 12 = 480 (un aporte por mes)
  3. Sustituye: VF = 200 × ((1 + 0.006667)⁴⁸⁰ − 1) ÷ 0.006667
  4. Potencia: (1 + i)ⁿ = 1.006667⁴⁸⁰ = 24.2734
  5. Factor de la anualidad: (24.2734 − 1) ÷ 0.006667 = 3,491.01
  6. Valor futuro: VF = 200 × 3,491.01 = $698,201.57

De esos $698,201.57, tú solo pusiste 200 × 480 = $96,000. El resto, $602,201.57, lo puso el interés compuesto.

¿Y si empiezas 10 años después (a los 32)? n = 30 × 12 = 360:

  1. 1.006667³⁶⁰ = 10.9357
  2. Factor: (10.9357 − 1) ÷ 0.006667 = 1,490.36
  3. VF = 200 × 1,490.36 = $298,071.89

Con el mismo aporte, esperar 10 años reduce el resultado a menos de la mitad (298,071.89 ÷ 698,201.57 = 42.7%). La lección no es una fórmula: el tiempo, no el monto, es la variable más poderosa.

B. Cuota de un préstamo

Ejemplo: pides $10,000 al 12% anual, a pagar en 36 cuotas mensuales.

Datos: P = 10,000 (lo que pides) · tasa anual 12% · 36 cuotas mensuales. Incógnita: A, la cuota. Fórmula: A = P × i ÷ (1 − (1+i)⁻ⁿ).

  1. Tasa por mes: i = 0.12 ÷ 12 = 0.01
  2. n = 36 (una cuota por mes durante 3 años)
  3. Sustituye: A = 10,000 × 0.01 ÷ (1 − (1 + 0.01)⁻³⁶)
  4. (1 + i)⁻ⁿ = 1.01⁻³⁶ = 1 ÷ 1.01³⁶ = 0.698925
  5. Denominador: 1 − 0.698925 = 0.301075; numerador: 10,000 × 0.01 = 100
  6. Cuota: A = 100 ÷ 0.301075 = $332.14

Cuánto pagas en total: 332.14 × 36 ≈ $11,957, es decir unos $1,957 de intereses (con la cuota sin redondear sale $11,957.15).

Cómo se reparte cada cuota (tabla de amortización, primeros meses). Interés del mes = saldo × 0.01; capital = cuota − interés:

MesSaldo inicialInterésCapital que abonasSaldo final
1$10,000.00$100.00$232.14$9,767.86
2$9,767.86$97.68$234.46$9,533.39
3$9,533.39$95.33$236.81$9,296.58

Al inicio casi un tercio de la cuota es interés; con los meses el interés baja y el abono al capital sube. Por eso pagar de más al inicio ahorra mucho interés.

Comprobación con valor presente: las 36 cuotas traídas a hoy deben dar el préstamo: 332.14 × 30.1075 ≈ $10,000 ✓ (30.1075 es el factor (1 − 1.01⁻³⁶) ÷ 0.01).

Con tus herramientas

  • Excel: cuota =PAGO(0.01;36;-10000) → 332.14. Ahorro =VF(0.08/12;480;-200) → 698,201.57. Valor presente =VA(0.01;36;-332.14).
  • Calculadora financiera: teclas N, I/Y, PV, PMT, FV: ingresas tres y despejas la cuarta.

Errores comunes

  • Usar la tasa anual (0.12) con meses.
  • Contar años en vez de pagos (n = 3 en vez de 36).
  • Olvidar que estas fórmulas suponen pagos al final del periodo.
  • Comparar préstamos solo por la cuota: fíjate en el total pagado.

Ejercicios para ti

  1. Pides $18,000 al 9% anual para pagar en 60 cuotas mensuales. ¿De cuánto es la cuota y cuánto pagas en total?
  2. Ahorras $150 al mes durante 20 años al 6% anual. ¿Cuánto acumulas y cuánto de eso es interés?

Respuestas: (1) i = 0.0075, n = 60; cuota = 18,000 × 0.0075 ÷ (1 − 1.0075⁻⁶⁰) = $373.65; total = 373.65 × 60 = $22,419.00; intereses ≈ $4,419. (2) i = 0.005, n = 240; VF = 150 × ((1.005²⁴⁰ − 1) ÷ 0.005) = $69,306.13; aportaste 150 × 240 = $36,000, así que el interés es $33,306.13.

Práctica paso a paso

Ahorro con aportes mensuales

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Aportas $200.00 al final de cada mes a un fondo que rinde 8% anual, capitalizado mensualmente, durante 40 años. ¿Cuánto tendrás al final y cuánto de eso es interés?

  1. 1Tasa por mes

    La tasa de 8% es anual, pero aportas y capitalizas cada mes. ¿Qué tasa se aplica cada mes? (en %, 4 decimales)

    i=tasa anual12i = \dfrac{\text{tasa anual}}{12}
    i=8%12=0.6667i = \frac{8\%}{12} = 0.6667%

  2. 2Número de aportes

    ¿Cuántos aportes mensuales harás en 40 años?

    n=an˜os×12n = \text{años} \times 12
    n=40×12=480n = 40 \times 12 = 480

  3. 3Factor de la anualidad

    Calcula el factor de la anualidad: cuántos dólares acumulas al final por cada dólar que aportas cada mes. Usa i en decimal. Redondea a 4 decimales.

    (1+i)n−1i\dfrac{(1+i)^n - 1}{i}
    (1+0.006667)480−10.006667=24.2734−10.006667=3,491.0078\frac{(1+0.006667)^{480} - 1}{0.006667} = \frac{24.2734 - 1}{0.006667} = 3,491.0078

  4. 4Valor futuro

    ¿Cuánto tendrás al final? Multiplica el aporte mensual ($200.00) por el factor. Redondea a 2 decimales.

    VF=aporte×(1+i)n−1i\text{VF} = \text{aporte} \times \dfrac{(1+i)^n-1}{i}
    VF=$200.00×3,491.0078=$698,201.57\text{VF} = \$200.00 \times 3,491.0078 = \$698,201.57

  5. 5Total aportado

    ¿Cuánto dinero pusiste tú en total, sin contar el interés? ($200.00 cada mes)

    aportado=aporte×n\text{aportado} = \text{aporte} \times n
    $200.00×480=$96,000.00\$200.00 \times 480 = \$96,000.00

  6. 6Interés ganado

    ¿Cuánto de lo que tendrás es interés? (valor futuro − lo que aportaste)

    Intereˊs=VF−aportado\text{Interés} = \text{VF} - \text{aportado}
    Intereˊs=$698,201.57−$96,000.00=$602,201.57\text{Interés} = \$698,201.57 - \$96,000.00 = \$602,201.57

    De cada dólar que tendrás, solo 13.7% salió de tu bolsillo; el resto lo puso el interés compuesto.

Los errores que más se repiten

  • Usar la tasa anual con meses (o los años con una tasa mensual): tasa y tiempo deben estar en la misma unidad.

  • Tratar los aportes como un solo depósito y calcular (1 + i)^n: una serie de pagos usa ((1+i)^n − 1) ÷ i.

  • Olvidar dividir entre i en decimal al final del factor.

  • Mezclar años con meses al contar el total aportado.

  • Creer que el interés es pequeño: en plazos largos suele ser la mayor parte del resultado.

Práctica paso a paso

Cuota mensual de un préstamo

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Pides un préstamo de $20,000.00 a 9% anual (capitalizado mensualmente) para pagarlo en 5 años con cuotas mensuales iguales. ¿De cuánto es la cuota y cuánto pagas de interés en total?

  1. 1Tasa por mes

    La tasa de 9% es anual, pero pagas cada mes. ¿Qué tasa se aplica cada mes? (en %, 4 decimales)

    i=tasa anual12i = \dfrac{\text{tasa anual}}{12}
    i=9%12=0.75i = \frac{9\%}{12} = 0.75%

    i es la tasa de un mes.

  2. 2Número de cuotas

    ¿Cuántas cuotas mensuales pagarás en 5 años?

    n=an˜os×12n = \text{años} \times 12
    n=5×12=60n = 5 \times 12 = 60

    n es el número total de cuotas.

  3. 3Factor de descuento

    Calcula 1 − (1 + i)^(−n), usando i en decimal (el % entre 100). Redondea a 4 decimales.

    1−(1+i)−n1-(1+i)^{-n}
    1−(1+0.0075)−60=1−0.6387=0.36131-(1+0.0075)^{-60} = 1 - 0.6387 = 0.3613

  4. 4Cuota mensual

    Calcula la cuota: multiplica el monto ($20,000.00) por i (en decimal) y divide entre el factor del paso anterior. Redondea a 2 decimales.

    A=P×i1−(1+i)−nA = P \times \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}
    A=$20,000.00×0.00750.3613=$415.17A = \$20,000.00 \times \frac{0.0075}{0.3613} = \$415.17

  5. 5Interés total pagado

    ¿Cuánto pagas de más que lo prestado? (cuota × número de cuotas − monto del préstamo)

    Intereˊs total=A×n−P\text{Interés total} = A \times n - P
    $415.17×60−$20,000.00=$4,910.03\$415.17 \times 60 - \$20,000.00 = \$4,910.03

    De cada dólar que pagas, 19.7% es interés.

Los errores que más se repiten

  • Usar la tasa anual con cuotas mensuales: tasa y tiempo deben estar en la misma unidad.

  • Poner el exponente positivo (1 + i)^n en vez de (1 + i)^(−n).

  • Usar i en % en vez de en decimal dentro de la fórmula.

  • Calcular la cuota como monto ÷ meses: ignora el interés.

  • No mirar el interés total: en plazos largos puede acercarse o superar lo prestado.

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