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3. Matemáticas de los bonos · Lección 5 de 6

Por qué el precio de un bono sube cuando bajan las tasas

Un bono paga un cupón fijo cada año y devuelve el valor nominal al vencimiento. Su precio justo es lo que valen hoy todos esos pagos. Con eso puedes calcular el precio de cualquier bono y entender por qué se mueve al revés que las tasas.

Los datos de un bono

DatoSímboloEjemplo
Valor nominal (lo que devuelve al vencer)F$1,000
Tasa de cupón (en % del nominal)c5%
Cupón anual en dólaresC = F × c1,000 × 0.05 = $50
Años que faltann5
Rendimiento que exige hoy el mercado (tasa de descuento)y6%

La fórmula del precio

El precio es el valor presente de los cupones más el valor presente del nominal:

P=∑t=1nC(1+y)t+F(1+y)n  =  C×1−(1+y)−ny+F(1+y)nP = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y)^t} + \frac{F}{(1+y)^n} \;=\; C \times \frac{1-(1+y)^{-n}}{y} + \frac{F}{(1+y)^n}

Qué significa cada símbolo:

  • P = el precio del bono hoy (lo que vale ahora).
  • C = cupón anual en dólares; F = valor nominal; y = rendimiento que exige el mercado (en decimal); n = años que faltan; t = contador de años (1, 2, 3… hasta n).
  • Σ (sigma) = "suma de todos": suma el valor presente del cupón de cada año, desde t = 1 hasta t = n.
  • C ÷ (1+y)ᵗ = lo que vale hoy el cupón que llega en el año t (el mismo descuento de la lección de valor presente).
  • F ÷ (1+y)ⁿ = lo que vale hoy el nominal que llega al final.
  • El signo = doble: la fórmula está escrita de dos maneras que dan lo mismo. La segunda reemplaza la suma de cupones por la fórmula de anualidad.

En palabras: precio = valor de hoy de los cupones + valor de hoy del nominal.

Ejemplo resuelto: bono a 5 años, cupón 5%, el mercado exige 6%

Datos: F = 1,000 (nominal) · c = 0.05, así que C = 1,000 × 0.05 = 50 (cupón anual) · n = 5 años · y = 0.06 (el 6% que exige el mercado).

Método 1: descontar cada pago (el más claro para aprender). Cada pago se divide entre (1 + 0.06) elevado a su año:

AñoPagoFactor 1.06ᵗValor presente
1$501.0600$47.17
2$501.1236$44.50
3$501.1910$41.98
4$501.2625$39.60
5$50 + $1,0001.3382$37.36 + $747.26

Suma: 47.17 + 44.50 + 41.98 + 39.60 + 37.36 + 747.26 = $957.87, que son $957.88 sin redondear cada sumando (la diferencia de un centavo es solo redondeo).

Método 2: con la fórmula (más rápido). Sustituimos C = 50, F = 1,000, y = 0.06, n = 5 en P = C × (1 − (1+y)⁻ⁿ) ÷ y + F ÷ (1+y)ⁿ:

  1. Factor de anualidad: (1 − 1.06⁻⁵) ÷ 0.06 = (1 − 0.747258) ÷ 0.06 = 4.2124
  2. Valor presente de los cupones: C × factor = 50 × 4.2124 = $210.62
  3. Valor presente del nominal: F ÷ (1+y)ⁿ = 1,000 ÷ 1.06⁵ = 1,000 ÷ 1.3382256 = $747.26
  4. Precio: 210.62 + 747.26 = $957.88

El bono se vende por debajo de su nominal ($957.88 < $1,000), es decir con descuento. ¿Por qué? Porque su cupón (5%) es menor que lo que hoy exige el mercado (6%): para que alguien lo compre, tiene que costar menos.

El precio se mueve al revés que la tasa

Mismo bono, distintos rendimientos exigidos. Calcúlalo con el procedimiento de arriba y comprueba:

Rendimiento exigido yPrecio
3%$1,091.59 (con prima)
4%$1,044.52
5% (= cupón)$1,000.00 (a la par)
6%$957.88 (con descuento)
7%$918.00
8%$880.22

Reglas que salen de la tabla:

  • Si y < cupón → el precio está por encima del nominal (prima).
  • Si y = cupón → el precio es igual al nominal (a la par).
  • Si y > cupón → el precio está por debajo del nominal (descuento).
  • Cuando las tasas suben, el precio baja; cuando bajan, el precio sube. Siempre.

Es la razón por la que, cuando el bono a 10 años sube de rendimiento (puedes verlo en vivo en Análisis → Estados Unidos), es matemáticamente lo mismo que decir que su precio bajó.

Dos medidas rápidas

  • Rendimiento corriente = cupón anual ÷ precio = 50 ÷ 957.88 = 5.22% (solo mira el cupón, no la ganancia al vencimiento).
  • Rendimiento al vencimiento (YTM) = la tasa y que hace que el precio calculado sea igual al precio de mercado; se busca probando, igual que la TIR. Aquí, a un precio de $957.88, el YTM es 6%.

Con tus herramientas

  • Excel: =VA(0.06;5;-50;-1000) → 957.88. (El 50 es el cupón; el −1000, el nominal.) Para el rendimiento: =TASA(5;50;-957.88;1000) → 6%.
  • Calculadora financiera: N=5, I/Y=6, PMT=50, FV=1000, calcula PV.

Errores comunes

  • Descontar con la tasa del cupón en vez de la tasa de mercado.
  • Sumar los cupones sin descontar (50 × 5 = 250 no es el valor de hoy de los cupones).
  • Olvidar el nominal al vencimiento.
  • Creer que "bono barato" siempre es buen negocio: pagar menos que el nominal significa que el mercado exige más que el cupón.

Ejercicios para ti

  1. Un bono de $1,000 con cupón 6% anual vence en 4 años. El mercado exige 5%. ¿Cuál es su precio y se vende con prima o con descuento?
  2. Con el bono del ejemplo (cupón 5%, 5 años), calcula el precio si el mercado exige 4%. ¿Sube o baja respecto a $957.88? ¿Por qué?

Respuestas: (1) C = $60; factor de anualidad (1 − 1.05⁻⁴) ÷ 0.05 = 3.5460; cupones: 60 × 3.5460 = 212.76; nominal: 1,000 ÷ 1.05⁴ = 822.70; precio = $1,035.46 → con prima, porque el cupón (6%) supera lo que exige el mercado (5%). (2) Precio = $1,044.52: sube, porque al bajar la tasa de mercado de 6% a 4%, el cupón fijo de 5% se vuelve más atractivo.

Práctica paso a paso

Precio de un bono

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Un bono de $1,000.00 paga un cupón de 5% anual y vence en 5 años. Hoy el mercado exige un rendimiento de 6%. ¿Cuál es su precio justo y cotiza con prima o con descuento?

  1. 1Cupón anual en dólares

    El bono paga 5% de su valor nominal ($1,000.00) cada año. ¿Cuántos dólares son?

    C=nominal×tasa de cupoˊnC = \text{nominal} \times \text{tasa de cupón}
    C=$1,000.00×0.05=$50.00C = \$1,000.00 \times 0.05 = \$50.00

  2. 2Factor de anualidad

    Los 5 cupones son una serie de pagos iguales. Su factor de valor presente es (1 − (1+y)^−n) ÷ y, con y = 6% en decimal. Redondea a 4 decimales.

    1−(1+y)−ny\dfrac{1 - (1+y)^{-n}}{y}
    1−(1+0.06)−50.06=1−0.7472580.06=4.2124\frac{1-(1+0.06)^{-5}}{0.06} = \frac{1-0.747258}{0.06} = 4.2124

  3. 3Valor presente de los cupones

    ¿Cuánto valen hoy todos los cupones juntos? Multiplica el cupón por el factor. Redondea a 2 decimales.

    VPcupones=C×factor\text{VP}_{cupones} = C \times \text{factor}
    VPcupones=$50.00×4.2124=$210.62\text{VP}_{cupones} = \$50.00 \times 4.2124 = \$210.62

  4. 4Valor presente del principal

    Al vencimiento recibes también el valor nominal ($1,000.00). ¿Cuánto vale hoy ese pago final? Redondea a 2 decimales.

    VPprincipal=nominal(1+y)n\text{VP}_{principal} = \dfrac{\text{nominal}}{(1+y)^n}
    VPprincipal=$1,000.00(1+0.06)5=$747.26\text{VP}_{principal} = \frac{\$1,000.00}{(1+0.06)^{5}} = \$747.26

  5. 5Precio del bono

    El precio justo es lo que valen hoy todos los pagos del bono: los cupones más el principal.

    Precio=VPcupones+VPprincipal\text{Precio} = \text{VP}_{cupones} + \text{VP}_{principal}
    Precio=$210.62+$747.26=$957.88\text{Precio} = \$210.62 + \$747.26 = \$957.88

  6. 6Prima o descuento

    ¿Cuánto más o menos que su valor nominal ($1,000.00) cuesta el bono? Positivo = prima, negativo = descuento.

    Precio−nominal\text{Precio} - \text{nominal}
    $957.88−$1,000.00=−$42.12\$957.88 - \$1,000.00 = −\$42.12

    El bono cotiza con descuento: su cupón (5%) es menor que lo que hoy exige el mercado (6%), así que vale menos que su nominal.

Los errores que más se repiten

  • Descontar con la tasa del cupón en vez de la tasa de mercado.

  • Sumar los cupones sin descontar (cupón × años).

  • Olvidar el principal: el bono paga también el nominal al vencimiento.

  • Confundir el factor de valor presente de una anualidad con el de valor futuro.

  • No ver la regla: tasa de mercado sube → precio baja; el cupón fijo se vuelve menos atractivo.

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