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1. El valor del dinero en el tiempo · Lección 2 de 6

Valor presente y valor futuro

Mover dinero en el tiempo es la operación más usada en finanzas. Solo hay dos direcciones: hacia el futuro (cuánto será mi dinero de hoy) y hacia el presente (cuánto vale hoy un dinero que recibiré después).

Las dos fórmulas

VF=VP×(1+i)n\text{VF} = \text{VP} \times (1+i)^n VP=VF(1+i)n\text{VP} = \frac{\text{VF}}{(1+i)^n}

Qué significa cada símbolo:

  • VF = valor futuro: cuánto vale el dinero al final (en el futuro).
  • VP = valor presente: cuánto vale el dinero hoy.
  • i = tasa de interés (o de descuento) por periodo, en decimal: 6% → 6 ÷ 100 = 0.06.
  • n = número de periodos (años si la tasa es anual, meses si es mensual).
  • (1+i)ⁿ = el factor de crecimiento: cuántas veces se multiplica el dinero en n periodos. 1.06² significa 1.06 × 1.06.
  • × multiplica y la raya de fracción divide: VF sobre (1+i)ⁿ es VF ÷ (1+i)ⁿ.

Son la misma fórmula despejada: si multiplicas para ir al futuro, divides para volver al presente.

El número 1 ÷ (1+i)ⁿ se llama factor de descuento. Al dividir entre (1+i)ⁿ es lo mismo que multiplicar por el factor de descuento.

Método en 4 pasos (sirve para cualquier problema)

  1. Dibuja la línea de tiempo con el dinero, la fecha y lo que buscas.
  2. Pasa la tasa a decimal y comprueba que tasa y periodos estén en la misma unidad.
  3. Calcula el factor (1 + i)ⁿ.
  4. Multiplica (para ir al futuro) o divide (para traer al presente).

Ejemplo 1: traer un pago futuro al presente

¿Cuánto vale hoy un pago garantizado de $10,000 dentro de 5 años, si la tasa de descuento es 6%?

Datos: VF = 10,000 (el pago futuro) · i = 0.06 (el 6% en decimal) · n = 5 (años). Incógnita: VP, lo que vale hoy.

  1. Escribe la fórmula: VP = VF ÷ (1 + i)ⁿ
  2. Sustituye cada letra por su número: VP = 10,000 ÷ (1 + 0.06)⁵
  3. Primero el paréntesis: 1 + 0.06 = 1.06. Luego la potencia: 1.06⁵ = 1.06 × 1.06 × 1.06 × 1.06 × 1.06 = 1.3382256 (el factor de crecimiento)
  4. Divide: VP = 10,000 ÷ 1.3382256 = $7,472.58

Comprobación (ida y vuelta): 7,472.58 × 1.3382256 = $10,000.00 ✓. Esos $7,472.58 invertidos hoy al 6% se convierten exactamente en $10,000 en 5 años. Por eso valen lo mismo.

Con el factor de descuento: 1 ÷ 1.3382256 = 0.747258 → 10,000 × 0.747258 = $7,472.58.

El "descuento" no es un truco contable: refleja que esperar cuesta. Cuanto mayor la tasa o más lejano el pago, menos vale hoy.

Ejemplo 2: ir al futuro

Depositas $7,472.58 hoy al 6% anual. ¿Cuánto tendrás en 5 años?

Datos: VP = 7,472.58 · i = 0.06 · n = 5. Incógnita: VF.

  1. Fórmula: VF = VP × (1 + i)ⁿ
  2. Sustituye: VF = 7,472.58 × (1 + 0.06)⁵ = 7,472.58 × 1.3382256
  3. Calcula: VF = $10,000.00

Ejemplo 3: decidir entre dos ofertas

Te ofrecen $9,000 hoy o $10,000 dentro de 2 años. Tu dinero rinde 6% anual. ¿Qué conviene?

La regla es comparar en la misma fecha. Llevamos todo al presente.

Datos: oferta A: $9,000 hoy (ya está en el presente, su VP es 9,000). Oferta B: VF = 10,000 dentro de n = 2 años, con i = 0.06.

  1. Factor: (1 + 0.06)² = 1.06² = 1.1236
  2. VP de la oferta B = VF ÷ factor = 10,000 ÷ 1.1236 = $8,899.96
  3. Compara: $9,000 hoy > $8,899.96 → conviene tomar los $9,000 hoy.

También se puede comparar en el futuro: 9,000 × 1.1236 = $10,112.40 > $10,000. Misma conclusión.

Ejemplo 4: varios pagos

¿Cuánto vale hoy recibir $1,000 al final de cada uno de los próximos 3 años, con tasa de 5%? Se descuenta cada pago por separado y se suman:

AñoPagoFactor (1.05ⁿ)Valor presente
1$1,0001.05001,000 ÷ 1.05 = $952.38
2$1,0001.10251,000 ÷ 1.1025 = $907.03
3$1,0001.15761,000 ÷ 1.1576 = $863.84
Suma$2,723.25

Aunque recibes $3,000 en total, hoy valen $2,723.25. Esta idea (descontar cada flujo y sumar) es la base del VAN y de las valuaciones de empresas.

Con tus herramientas

  • Calculadora: 10000 ÷ (1.06 ^ 5) =
  • Excel: =10000/(1+0.06)^5 o =VA(0.06;5;0;-10000); para el futuro =VF(0.06;5;0;-7472.58)

Errores comunes

  • Multiplicar en vez de dividir al traer al presente (da un número mayor que el pago: debe ser menor).
  • Sumar pagos de fechas distintas sin descontarlos antes.
  • Olvidar pasar la tasa a decimal.

Ejercicios para ti

  1. ¿Cuánto vale hoy un pago de $20,000 dentro de 8 años, con tasa de 7%?
  2. Si inviertes $4,000 hoy al 9% anual, ¿cuánto tendrás en 6 años?
  3. Te ofrecen $9,200 hoy o $10,000 dentro de 2 años. Tu dinero rinde 4% anual. ¿Cuál conviene?

Respuestas: (1) 1.07⁸ = 1.718186; VP = 20,000 ÷ 1.718186 = $11,640.18. (2) 1.09⁶ = 1.677100; VF = 4,000 × 1.6771 = $6,708.40. (3) 1.04² = 1.0816; VP = 10,000 ÷ 1.0816 = $9,245.56 > $9,200 → conviene esperar los 10,000.

Práctica paso a paso

Valor futuro con interés compuesto

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Depositas $5,000.00 en una cuenta que paga 6% anual, con los intereses capitalizados mensualmente. Si no retiras nada, ¿cuánto tendrás en 3 años y cuánto de ese total es interés?

  1. 1Tasa por periodo

    La tasa de 6% es anual, pero los intereses se capitalizan mensualmente. ¿Qué tasa se aplica en cada mes?

    i=tasa anualmi = \dfrac{\text{tasa anual}}{m}
    i=6%12=0.5i = \frac{6\%}{12} = 0.5%

    Cada mes el dinero crece 0.5%.

  2. 2Número de periodos

    ¿Cuántos meses hay en 3 años?

    n=an˜os×mn = \text{años} \times m
    n=3×12=36n = 3 \times 12 = 36

    En 3 años hay 36 periodos de capitalización.

  3. 3Factor de crecimiento

    Calcula el factor de crecimiento: cuántas veces crece cada dólar. Usa la tasa por periodo (en decimal) y el número de periodos. Redondea a 4 decimales.

    (1+i)n(1+i)^n
    (1+i)n=(1+0.5100)36=1.00536=1.1967(1+i)^n = \left(1+\frac{0.5}{100}\right)^{36} = 1.005^{36} = 1.1967

    Cada dólar se convierte en 1.1967 dólares.

  4. 4Valor futuro

    ¿Cuánto tendrás al final? Multiplica el depósito ($5,000.00) por el factor. Redondea a 2 decimales.

    VF=VP×(1+i)n\text{VF} = \text{VP} \times (1+i)^n
    VF=$5,000.00×1.1967=$5,983.40\text{VF} = \$5,000.00 \times 1.1967 = \$5,983.40

    Al final tendrás $5,983.40.

  5. 5Interés ganado

    ¿Cuánto de ese total es interés? (lo que ganaste, sin contar los $5,000.00 que pusiste)

    Intereˊs=VF−VP\text{Interés} = \text{VF} - \text{VP}
    Intereˊs=$5,983.40−$5,000.00=$983.40\text{Interés} = \$5,983.40 - \$5,000.00 = \$983.40

    Ganaste $983.40 sin hacer nada más que dejar el dinero trabajando.

Los errores que más se repiten

  • Usar la tasa anual completa cuando los intereses se capitalizan varias veces al año.

  • Contar el tiempo en años cuando la tasa es por mes o trimestre (los periodos y la tasa deben ir en la misma unidad).

  • Confundir interés compuesto con simple: sumar i·n en vez de elevar (1 + i) a la n.

  • Dejar la tasa en % dentro del paréntesis: es 1 + 0.005, no 1 + 0.5.

  • Redondear demasiado pronto: guarda varios decimales en el factor y redondea al final.

Práctica paso a paso

Valor presente de un pago futuro

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Te prometen un pago garantizado de $10,000.00 dentro de 5 años. Con una tasa de descuento de 6% anual, ¿cuánto vale ese pago hoy, y cuánto es el descuento?

  1. 1Factor de crecimiento

    Primero calcula cuánto crece cada dólar en 5 años a 6% anual: el factor (1 + tasa)^años. Redondea a 4 decimales.

    (1+r)n(1+r)^n
    (1+r)n=(1+0.06)5=1.3382(1+r)^n = (1+0.06)^{5} = 1.3382

    Cada dólar de hoy se convertiría en 1.3382 dólares en 5 años.

  2. 2Valor presente

    ¿Cuánto vale hoy el pago de $10,000.00? Es el valor futuro dividido entre el factor. Redondea a 2 decimales.

    VP=VF(1+r)n\text{VP} = \dfrac{\text{VF}}{(1+r)^n}
    VP=$10,000.001.3382=$7,472.58\text{VP} = \frac{\$10,000.00}{1.3382} = \$7,472.58

    Hoy ese pago vale $7,472.58. Invertidos al 6%, se convertirían exactamente en $10,000.00 en 5 años.

  3. 3Descuento

    ¿Cuánto es el descuento? Es lo que el pago futuro vale de más que su valor de hoy.

    Descuento=VF−VP\text{Descuento} = \text{VF} - \text{VP}
    Descuento=$10,000.00−$7,472.58=$2,527.42\text{Descuento} = \$10,000.00 - \$7,472.58 = \$2,527.42

    El pago futuro se "encoge" $2,527.42 (25.3% de su monto) por esperar 5 años.

Los errores que más se repiten

  • Multiplicar por el factor en vez de dividir: eso da el valor futuro, no el presente.

  • Dividir una sola vez entre (1 + r) en vez de elevar a la potencia n.

  • Dejar la tasa en % dentro del paréntesis: es 1 + 0.06, no 1 + 6.

  • Creer que un pago futuro vale más hoy: esperar siempre cuesta, por eso el valor presente es menor.

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