3. Matemáticas de los bonos · Lección 6 de 6

Duración: por qué el bono a 30 años se mueve más que el de 2

La duración responde una pregunta práctica: si las tasas cambian 1 punto porcentual, ¿cuánto cambia el precio de mi bono? Con una fórmula y una tabla puedes calcularlo tú mismo.

Duración de Macaulay

Es el plazo promedio ponderado al que recibes el dinero del bono, en años. Cada pago se pesa por cuánto vale hoy:

D = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \times \text{VP}(FC_t)}{P}

Qué significa cada símbolo:

D = duración de Macaulay, medida en años.
t = el año en que llega cada pago (1, 2, 3…).
FCₜ = el pago (flujo de caja) del año t: el cupón, y en el último año también el nominal.
VP(FCₜ) = valor presente de ese pago: pago ÷ (1 + y)ᵗ, donde y es el rendimiento que exige el mercado (en decimal).
Σ = "suma de todos": suma, para cada año, el año t multiplicado por el valor presente de su pago.
P = precio del bono (la suma de todos los valores presentes).
En palabras: D = (suma de año × valor presente de ese año) ÷ precio. Es como un promedio donde cada año "pesa" según cuánto dinero llega en él.

Procedimiento paso a paso

Haz la lista de pagos por año (cupones y, en el último año, también el nominal).
Calcula el valor presente de cada pago con el rendimiento y del mercado.
Multiplica cada valor presente por su año t.
Suma esos productos (numerador) y suma los valores presentes (precio P).
Divide: D = suma de (t × VP) ÷ P.

Ejemplo resuelto: bono a 3 años, cupón 5%, el mercado exige 6%

Datos: nominal F = 1,000 · cupón C = 50 por año · n = 3 años · y = 0.06. Los pagos son: año 1 → 50; año 2 → 50; año 3 → 50 + 1,000 = 1,050. Cada uno se divide entre 1.06 elevado a su año y se multiplica por ese año.

Año t	Pago	Valor presente (÷ 1.06ᵗ)	t × VP
1	$50	$47.17	47.17
2	$50	$44.50	89.00
3	$1,050	$881.60	2,644.80
Total		P = $973.27	2,780.97

D = \frac{2{,}780.97}{973.27} = 2.857 \text{ años}

Aunque el bono vence en 3 años, el dinero llega en promedio en 2.86 años, porque los cupones llegan antes.

Duración modificada: de años a porcentaje

Para estimar el cambio de precio se usa la duración modificada:

D_{\text{mod}} = \frac{D}{1+y}

\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \times \Delta y

Qué significa cada símbolo:

D_mod = duración modificada: la duración de Macaulay (D) dividida entre (1 + y). Ya no está en años: sirve para calcular el cambio porcentual del precio.
Δ (letra griega delta mayúscula) significa "cambio en". Δy = cuánto cambió el rendimiento (en decimal: 1 punto = 0.01). ΔP = cuánto cambió el precio en dólares; ΔP ÷ P = el cambio del precio como fracción del precio (el cambio porcentual).
≈ = "aproximadamente igual" (es una estimación, buena para cambios pequeños).
El signo menos dice que precio y rendimiento se mueven en direcciones opuestas.

Datos: D = 2.857 · y = 0.06 · el rendimiento sube de 6% a 7%, es decir Δy = 0.07 − 0.06 = +0.01.

Duración modificada: D_mod = D ÷ (1 + y) = 2.857 ÷ 1.06 = 2.696
Sustituye: ΔP ÷ P ≈ −D_mod × Δy = −2.696 × 0.01

\frac{\Delta P}{P} \approx -2.696 \times 0.01 = -2.696\%

Se lee: "si el rendimiento sube 1 punto, el precio baja aproximadamente 2.7%".

Comprobación: reprecia el bono al 7%: sale $947.51. El cambio real es 947.51 ÷ 973.27 − 1 = −2.65%. La estimación (−2.70%) es muy cercana. Si las tasas bajan 1 punto (a 5%), el bono vale $1,000.00: +2.75%. El efecto sube más de lo que baja: esa pequeña diferencia es la convexidad.

Regla práctica: un bono con duración modificada de 7 pierde cerca de 7% por cada punto que suban las tasas y gana cerca de 7% si bajan.

¿Por qué el bono a 30 años se mueve más que el de 2?

Un bono cupón cero (sin cupones, un solo pago al final) tiene duración igual a sus años. Compara con un movimiento de tasas de 6% a 7%:

Bono cupón cero	Duración mod. = n ÷ (1+y)	Cambio real de precio: (1.06 ÷ 1.07)ⁿ − 1
2 años	2 ÷ 1.06 = 1.89	(0.990654)² − 1 = −1.86%
30 años	30 ÷ 1.06 = 28.30	(0.990654)³⁰ − 1 = −24.55%

El de 30 años pierde casi una cuarta parte de su valor con un solo punto de alza; el de 2 años, menos del 2%. Su dinero llega mucho más lejos en el tiempo, así que el efecto del descuento (lo aprendido en la lección de valor presente) es enorme.

Con tus herramientas

Excel: =DURACION(liquidación;vencimiento;cupón;rendimiento;frecuencia) para Macaulay y =DURACION.MODIF(...) para la modificada.
Calculadora o papel: la tabla de arriba es suficiente; tres filas para un bono de 3 años.

Errores comunes

Creer que la duración es el plazo del bono: es el plazo promedio ponderado, siempre menor o igual (con cupones, menor).
Olvidar convertir a duración modificada antes de estimar el cambio de precio.
Usar la fórmula con cambios grandes de tasa: es una aproximación, buena para cambios pequeños.
Mezclar puntos porcentuales con porcentaje: 1 punto = 0.01, no 1.

Ejercicios para ti

Calcula la duración de Macaulay y la modificada de un bono a 2 años, cupón 4%, nominal $1,000, cuando el mercado exige 5%.
Con ese resultado, ¿cuánto cambiaría el precio aproximadamente si el rendimiento sube 2 puntos?

Respuestas: (1) VP: 40 ÷ 1.05 = 38.10 y 1,040 ÷ 1.1025 = 943.31; precio $981.41; suma de t × VP = 38.10 + 2 × 943.31 = 1,924.72; D = 1,924.72 ÷ 981.41 = 1.961 años; D_mod = 1.961 ÷ 1.05 = 1.868. (2) ΔP/P ≈ −1.868 × 0.02 = −3.74% (aproximadamente $944.7).

Práctica paso a paso

Duración de un bono

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Un bono de 3 años, nominal $1,000.00, paga cupón de 5% anual ($50.00). El mercado exige 6%. Calcula su precio, su duración de Macaulay, su duración modificada y cuánto cambia el precio si el rendimiento sube 1 punto.

1Precio del bono
Calcula el precio P: suma el valor presente de los 3 pagos ($50.00, $50.00 y $1,050.00) al 6%.
$P = \sum_{t=1}^{3} \dfrac{FC_t}{(1+y)^t}$
$P = \frac{\$50.00}{1.06} + \frac{\$50.00}{1.06^2} + \frac{\$1,050.00}{1.06^3} = \$47.17 + \$44.50 + \$881.60 = \$973.27$
2Suma de año × valor presente
Multiplica el valor presente de cada pago por su año (1, 2 y 3) y suma los tres resultados.
$\sum_{t=1}^{3} t \times \text{VP}(FC_t)$
$1\times \$47.17 + 2\times \$44.50 + 3\times \$881.60 = 2,780.97$
3Duración de Macaulay
Divide la suma del paso anterior entre el precio P. El resultado está en años. Redondea a 3 decimales.
$D = \dfrac{\sum t \times \text{VP}(FC_t)}{P}$
$D = \frac{2,780.97}{\$973.27} = 2.857\ \text{años}$
Aunque el bono vence en 3 años, el dinero llega en promedio antes, por los cupones.
4Duración modificada
Convierte a duración modificada: divide D entre (1 + y), con y = 0.06. Redondea a 3 decimales.
$D_{mod} = \dfrac{D}{1+y}$
$D_{mod} = \frac{2.857}{1 + 0.06} = 2.696$
5Cambio del precio si el rendimiento sube 1 punto
Estima el cambio porcentual del precio si el rendimiento sube 1 punto (Δy = +0.01). Escribe el resultado en % (negativo si baja). Redondea a 2 decimales.
$\dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \times \Delta y$
$\frac{\Delta P}{P} \approx -2.696 \times 0.01 = -2.7%$
Si el rendimiento sube 1 punto, el precio baja aproximadamente 2.7%.

Los errores que más se repiten

Dividir entre el nominal en vez de entre el precio.
No ponderar por el año: multiplicar cada valor presente por 1, 2 y 3.
Usar la duración de Macaulay sin convertir a modificada para estimar cambios de precio.
Olvidar el signo menos: tasas arriba, precio abajo.
Mezclar 1 punto con 1%: 1 punto = 0.01.

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