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2. Evaluar una inversión · Lección 3 de 6

Valor Actual Neto (VAN) y Tasa Interna de Retorno (TIR)

Para decidir si un proyecto o inversión vale la pena, se traen todos sus flujos de caja futuros a valor presente y se comparan con lo que cuesta. Esa comparación es el VAN. La TIR es su "primo": la rentabilidad real del proyecto expresada como porcentaje.

Fórmula del VAN

VAN=−I0+∑t=1nFCt(1+r)t=−I0+FC1(1+r)1+FC2(1+r)2+⋯+FCn(1+r)n\text{VAN} = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{FC_t}{(1+r)^t} = -I_0 + \frac{FC_1}{(1+r)^1} + \frac{FC_2}{(1+r)^2} + \dots + \frac{FC_n}{(1+r)^n}

Qué significa cada símbolo:

  • VAN = Valor Actual Neto: cuánto valor crea (o destruye) el proyecto, en dólares de hoy.
  • I₀ = inversión inicial: lo que pagas hoy (el "0" pequeño abajo, llamado subíndice, quiere decir "en el año 0", es decir, hoy). Va con signo menos porque es dinero que sale de tu bolsillo.
  • FCₜ = flujo de caja (dinero que entra) al final del año t. FC₁ es el del año 1, FC₂ el del año 2, y así. La t es un contador: 1, 2, 3…
  • r = tasa requerida, en decimal: el rendimiento mínimo que exiges (lo que ganarías en otra inversión parecida). 10% → 0.10.
  • n = número de años del proyecto.
  • Σ (letra griega sigma mayúscula) significa "suma de todos". Σ con t = 1 abajo y n arriba quiere decir: "suma los términos para t = 1, t = 2… hasta t = n". La segunda forma de la fórmula escribe esa suma término por término.
  • (1+r)ᵗ = el factor de descuento del año t: se multiplica (1 + r) por sí mismo t veces.

Cómo se interpreta:

  • VAN > 0: el proyecto rinde más que tu tasa requerida → crea valor → conviene.
  • VAN = 0: rinde justo lo que exiges → te da igual.
  • VAN < 0: rinde menos que tu tasa requerida → destruye valor → no conviene.

Procedimiento paso a paso

  1. Haz la lista de flujos con su año (el desembolso inicial va como I₀, año 0).
  2. Para cada flujo calcula su factor (1 + r)ᵗ.
  3. Divide cada flujo entre su factor: obtienes su valor presente.
  4. Suma los valores presentes.
  5. Resta la inversión inicial. Ese resultado es el VAN.

Ejemplo resuelto

Un proyecto cuesta $10,000 y paga $4,000 al final de cada año durante 3 años. Tu tasa requerida es 10%.

Datos: I₀ = 10,000 · FC₁ = FC₂ = FC₃ = 4,000 · r = 0.10 · n = 3.

Sustituimos en la fórmula: VAN = −10,000 + 4,000 ÷ (1.10)¹ + 4,000 ÷ (1.10)² + 4,000 ÷ (1.10)³. Calculamos cada sumando por separado en la tabla:

Año tFlujoFactor 1.10ᵗValor presente = flujo ÷ factor
1$4,0001.10004,000 ÷ 1.1000 = $3,636.36
2$4,0001.21004,000 ÷ 1.2100 = $3,305.79
3$4,0001.33104,000 ÷ 1.3310 = $3,005.26
Suma de VP$9,947.41

Ahora juntamos todo: la suma de los valores presentes (9,947.41) menos la inversión inicial (10,000):

VAN=9,947.41−10,000=−52.59\text{VAN} = 9{,}947.41 - 10{,}000 = -52.59

El VAN es −$52.59: casi neutro, pero técnicamente no conviene si exiges 10%. (Si redondeas los factores a 3 decimales te puede salir −56; la diferencia es solo redondeo. Usa 4 decimales o más.)

La TIR: ¿qué rentabilidad tiene realmente?

La Tasa Interna de Retorno es la tasa r que hace que el VAN sea cero:

0=−I0+∑t=1nFCt(1+TIR)t0 = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{FC_t}{(1+\text{TIR})^t}

Dónde: es la misma fórmula del VAN, pero igualada a 0 y con la incógnita TIR en lugar de r. Quiere decir: "¿qué tasa hace que lo que recibes (en valor de hoy) sea exactamente lo que pagaste?". I₀ y FCₜ significan lo mismo que antes.

No se puede despejar con álgebra simple; se encuentra probando tasas hasta que el VAN llegue a cero (o con Excel). Para el mismo proyecto:

Tasa rVAN
6%+$692.05
8%+$308.39
9%+$125.18
10%−$52.59

El VAN cambia de positivo a negativo entre 9% y 10%: ahí está la TIR. Para afinar se interpola entre las dos tasas:

TIR≈9%+125.18125.18−(−52.59)×(10%−9%)=9%+0.704×1%=9.70%\text{TIR} \approx 9\% + \frac{125.18}{125.18 - (-52.59)} \times (10\% - 9\%) = 9\% + 0.704 \times 1\% = 9.70\%

Cómo leer esta fórmula: 9% es la tasa donde el VAN todavía es positivo (+125.18); 10% es la tasa donde ya es negativo (−52.59). La fracción 125.18 ÷ (125.18 + 52.59) = 0.704 dice qué fracción del camino entre 9% y 10% hay que avanzar para llegar a VAN = 0 (los dos VAN se suman porque están a lados opuestos del cero). Avanzar 0.704 de 1 punto da 9.704%, es decir 9.70%.

La TIR exacta es 9.701%. Regla de decisión: si la TIR (9.70%) es mayor que tu tasa requerida, conviene; aquí es menor que 10%, por eso el VAN salió negativo. Ambos criterios coinciden.

Con tus herramientas

  • Excel: pon los flujos en celdas (−10000, 4000, 4000, 4000) y usa =TIR(A1:A4) → 9.70%. Para el VAN: =VNA(0.10;A2:A4)+A1 (los flujos futuros en A2:A4 y el desembolso en A1). Ojo: VNA de Excel solo descuenta los flujos futuros; el desembolso inicial se suma aparte.
  • Calculadora financiera: teclas CF, NPV, IRR.

Ejemplo con flujos distintos

Inversión de $9,000; flujos de $3,000, $5,000 y $6,000 en los años 1, 2 y 3; tasa requerida 10%.

Datos: I₀ = 9,000 · FC₁ = 3,000 · FC₂ = 5,000 · FC₃ = 6,000 · r = 0.10. Cada flujo se divide entre su propio factor (1.10 elevado al año).

AñoFlujoValor presente
1$3,0003,000 ÷ 1.10 = $2,727.27
2$5,0005,000 ÷ 1.21 = $4,132.23
3$6,0006,000 ÷ 1.331 = $4,507.89
Suma$11,367.39

VAN = 11,367.39 − 9,000 = +$2,367.39 → conviene. Su TIR es 22.79%, muy por encima del 10% exigido.

Errores comunes

  • Sumar los flujos sin descontarlos (4,000 × 3 = 12,000 parece ganar 2,000, pero en valor de hoy no es así).
  • Descontar todos los años con el mismo factor: el año 2 se descuenta dos veces y el 3, tres.
  • Restar al revés la inversión (te cambia el signo del resultado).
  • Elegir una tasa requerida muy baja: casi cualquier proyecto saldría "bueno".

Ejercicios para ti

  1. Inversión de $15,000; flujos de $6,000 al final de cada uno de 3 años; tasa requerida 12%. Calcula el VAN y decide.
  2. Con el proyecto del ejemplo (10,000 y 4,000 × 3), calcula el VAN a una tasa de 8%. ¿Cambia la decisión?

Respuestas: (1) VP = 6,000 ÷ 1.12 + 6,000 ÷ 1.2544 + 6,000 ÷ 1.404928 = 5,357.14 + 4,783.16 + 4,270.68 ≈ 14,410.99 (sin redondear cada sumando); VAN = −$589.01 → no conviene. (2) VAN a 8% = +$308.39 → sí conviene: con una tasa requerida menor, el mismo proyecto se vuelve atractivo.

Práctica paso a paso

Valor Actual Neto (VAN) de un proyecto

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Un proyecto cuesta $10,000.00 hoy y paga $4,000.00 al final de cada uno de los próximos 3 años. Tu tasa requerida es 10% anual. ¿Cuál es el VAN y conviene invertir?

  1. 1Valor presente del año 1

    El flujo del año 1 es $4,000.00. ¿Cuánto vale hoy, descontado a 10% durante 1 año? Redondea a 2 decimales.

    VP1=flujo(1+r)1\text{VP}_1 = \dfrac{\text{flujo}}{(1+r)^{1}}
    VP1=$4,000.00(1+0.1)1=$3,636.36\text{VP}_1 = \frac{\$4,000.00}{(1+0.1)^{1}} = \$3,636.36

  2. 2Valor presente del año 2

    El flujo del año 2 es $4,000.00. ¿Cuánto vale hoy, descontado a 10% durante 2 años? Redondea a 2 decimales.

    VP2=flujo(1+r)2\text{VP}_2 = \dfrac{\text{flujo}}{(1+r)^{2}}
    VP2=$4,000.00(1+0.1)2=$3,305.79\text{VP}_2 = \frac{\$4,000.00}{(1+0.1)^{2}} = \$3,305.79

  3. 3Valor presente del año 3

    El flujo del año 3 es $4,000.00. ¿Cuánto vale hoy, descontado a 10% durante 3 años? Redondea a 2 decimales.

    VP3=flujo(1+r)3\text{VP}_3 = \dfrac{\text{flujo}}{(1+r)^{3}}
    VP3=$4,000.00(1+0.1)3=$3,005.26\text{VP}_3 = \frac{\$4,000.00}{(1+0.1)^{3}} = \$3,005.26

  4. 4Suma de los valores presentes

    Suma los tres valores presentes que acabas de calcular.

    ∑VP=VP1+VP2+VP3\sum \text{VP} = \text{VP}_1 + \text{VP}_2 + \text{VP}_3
    ∑VP=$3,636.36+$3,305.79+$3,005.26=$9,947.41\sum \text{VP} = \$3,636.36 + \$3,305.79 + \$3,005.26 = \$9,947.41

  5. 5VAN

    Calcula el VAN: lo que valen hoy los flujos, menos lo que cuesta el proyecto ($10,000.00).

    VAN=∑VP−inversioˊn\text{VAN} = \sum \text{VP} - \text{inversión}
    VAN=$9,947.41−$10,000.00=−$52.59\text{VAN} = \$9,947.41 - \$10,000.00 = −\$52.59

    El VAN es negativo: el proyecto rinde menos que tu tasa requerida de 10%, así que no conviene a esa tasa.

Los errores que más se repiten

  • No descontar los flujos (sumar $4,000 × 3 como si valieran lo mismo hoy).

  • Descontar todos los años con el mismo factor: el año 2 se descuenta dos veces y el 3, tres.

  • Restar al revés (inversión − valor presente): el signo del VAN te diría lo contrario.

  • Olvidar restar la inversión inicial y quedarse con la suma de valores presentes.

  • Concluir sin mirar el signo: VAN positivo conviene, negativo no.

Práctica paso a paso

TIR aproximada por interpolación

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Un proyecto cuesta $10,000.00 y paga $4,000.00 al final de cada uno de los próximos 3 años. Sabes que su TIR está entre 9% y 10%. Calcula el VAN a cada tasa y estima la TIR.

  1. 1VAN a la tasa baja

    Calcula el VAN al 9%: valor presente de los 3 flujos de $4,000.00 menos la inversión de $10,000.00.

    VAN=∑t=13FC(1+r)t−I0\text{VAN} = \sum_{t=1}^{3} \dfrac{FC}{(1+r)^t} - I_0
    VAN9%=$4,000.00×2.5313−$10,000.00=$125.18\text{VAN}_{9\%} = \$4,000.00 \times 2.5313 - \$10,000.00 = \$125.18

    El VAN es positivo: a esa tasa el proyecto todavía vale la pena, así que la TIR es mayor que 9%.

  2. 2VAN a la tasa alta

    Ahora el VAN al 10%. Si da negativo, escribe el signo menos.

    VAN=∑t=13FC(1+r)t−I0\text{VAN} = \sum_{t=1}^{3} \dfrac{FC}{(1+r)^t} - I_0
    VAN10%=$4,000.00×2.4869−$10,000.00=−$52.59\text{VAN}_{10\%} = \$4,000.00 \times 2.4869 - \$10,000.00 = −\$52.59

    Ahora el VAN es negativo: el proyecto ya no rinde esa tasa. La TIR está entre las dos.

  3. 3TIR por interpolación

    Estima la TIR (en %) con la fórmula de interpolación. Redondea a 2 decimales.

    TIR≈r1+VAN1VAN1−VAN2×(r2−r1)\text{TIR} \approx r_1 + \dfrac{\text{VAN}_1}{\text{VAN}_1 - \text{VAN}_2} \times (r_2 - r_1)
    TIR≈9%+$125.18$125.18−(−$52.59)×1%=9.7\text{TIR} \approx 9\% + \frac{\$125.18}{\$125.18 - (−\$52.59)} \times 1\% = 9.7%

    Si tu tasa requerida es menor que la TIR, el proyecto conviene; si es mayor, no.

Los errores que más se repiten

  • Olvidar restar la inversión al calcular cada VAN.

  • Descontar todos los años con el mismo exponente.

  • Interpolar sin sumar la tasa base r₁ al final.

  • Poner el VAN negativo con el signo equivocado en el denominador.

  • Creer que la TIR es exacta: la interpolación es una aproximación (Excel la calcula con =TIR).

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