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1. El valor del dinero en el tiempo · Lección 1 de 6

Interés simple vs. interés compuesto

Un dólar hoy vale más que un dólar mañana, porque hoy puedes invertirlo y ganar interés. Esa idea es la base de toda la matemática financiera. En esta lección aprendes a calcular cuánto crece un dinero, no solo a saber que crece.

Cómo leer una fórmula (si es tu primera vez)

Una fórmula es una receta: te dice qué operaciones hacer y en qué orden. Cada letra es un dato que cambia de problema en problema, y tú lo reemplazas por su número.

  • Las letras (C, i, n…) son los datos. Abajo, en la tabla de símbolos, está qué significa cada una.
  • × significa multiplicar. ÷ o la raya de fracción significan dividir: una fracción con a arriba y b abajo se lee "a dividido entre b".
  • Un número elevado a n (como 1.08ⁿ) significa multiplicarlo por sí mismo n veces. Por ejemplo, 1.08³ = 1.08 × 1.08 × 1.08.
  • El orden de las operaciones: primero lo que está entre paréntesis, luego las potencias, luego × y ÷, y al final + y −.
  • Para usar una fórmula: (1) escribe la fórmula; (2) escribe los datos del problema; (3) sustituye cada letra por su número; (4) calcula siguiendo el orden de las operaciones.
  • El porcentaje se escribe en decimal: 8% = 8 ÷ 100 = 0.08.

Los símbolos que vas a usar

SímboloSignificaEjemplo
C (o VP)Capital: el dinero con el que empiezas$1,000
iTasa de interés por periodo, en decimal (8% → 0.08)0.08
nNúmero de periodos (años, meses…)5
M (o VF)Monto final: capital + intereses?
IInterés ganado: M − C?

Regla de oro: la tasa y el tiempo deben estar en la misma unidad. Si la tasa es anual, n son años. Si la tasa es mensual, n son meses.

1. Interés simple

Solo el capital original gana interés, siempre la misma cantidad cada periodo.

I=C×i×nI = C \times i \times n M=C (1+i n)M = C\,(1 + i\,n)

Dónde: I = interés ganado (en dólares); C = capital inicial; i = tasa por periodo, en decimal; n = número de periodos; M = monto final (capital + interés). En "C × i × n" las letras pegadas se multiplican.

Ejemplo: $1,000 al 8% anual durante 5 años.

Datos: C = 1,000 (el capital) · i = 0.08 (el 8% en decimal) · n = 5 (años, porque la tasa es anual).

  1. Pasa la tasa a decimal: 8% = 8 ÷ 100 = 0.08
  2. Sustituye en la fórmula del interés: I = C × i × n = 1,000 × 0.08 × 5
  3. Calcula: 1,000 × 0.08 = 80 y 80 × 5 = $400 de interés
  4. Monto: M = C + I = 1,000 + 400 = $1,400
  5. Comprobación con la otra fórmula: M = C (1 + i n) = 1,000 × (1 + 0.08 × 5) = 1,000 × 1.40 = $1,400 ✓

Cada año ganas lo mismo: 1,000 × 0.08 = $80.

2. Interés compuesto

El interés ganado se suma al capital y desde el siguiente periodo también gana interés (interés sobre interés).

M=C (1+i)nM = C\,(1 + i)^n

Dónde: M = monto final; C = capital inicial; i = tasa por periodo (en decimal); n = número de periodos; (1 + i)ⁿ = "el factor de crecimiento": cuántas veces se multiplica el dinero al cabo de n periodos.

¿De dónde sale la fórmula? Cada periodo el dinero se multiplica por (1 + i):

  • Después del año 1: C × (1 + i)
  • Después del año 2: C × (1 + i) × (1 + i) = C × (1 + i)²
  • Después del año n: C × (1 + i)ⁿ

Ejemplo: los mismos $1,000 al 8% durante 5 años.

Datos: C = 1,000 · i = 0.08 · n = 5.

  1. Sustituye en la fórmula: M = C (1 + i)ⁿ = 1,000 × (1 + 0.08)⁵
  2. Primero el paréntesis: 1 + 0.08 = 1.08 (el factor de un periodo)
  3. Luego la potencia: 1.08⁵ = 1.08 × 1.08 × 1.08 × 1.08 × 1.08 = 1.469328
  4. Por último multiplica: M = 1,000 × 1.469328 = $1,469.33
  5. Interés ganado: I = M − C = 1,469.33 − 1,000 = $469.33 (con simple eran $400)

Año por año (comprueba que cuadra con la fórmula):

AñoSaldo al inicioInterés (8% del saldo)Saldo al final
1$1,000.00$80.00$1,080.00
2$1,080.00$86.40$1,166.40
3$1,166.40$93.31$1,259.71
4$1,259.71$100.78$1,360.49
5$1,360.49$108.84$1,469.33

Fíjate: el interés crece cada año (80 → 86.40 → 93.31…) porque el saldo crece. En el simple siempre era 80.

3. La diferencia crece con el tiempo

$1,000 al 8% anual:

AñosSimple: 1,000 × (1 + 0.08 n)Compuesto: 1,000 × 1.08ⁿ
51,000 × 1.40 = $1,400.001,000 × 1.4693 = $1,469.33
101,000 × 1.80 = $1,800.001,000 × 2.1589 = $2,158.92
201,000 × 2.60 = $2,600.001,000 × 4.6610 = $4,660.96

A 20 años el compuesto casi duplica al simple. Por eso empezar a invertir joven importa tanto. (Se le atribuye a Einstein haberlo llamado "la fuerza más poderosa del universo"; el origen de la cita se discute, pero el efecto es real.)

4. Cómo calcularlo con tus herramientas

  • Calculadora: escribe 1.08, pulsa la tecla de potencia (^ o yˣ), escribe 20, pulsa =. Luego multiplica por 1,000.
  • Excel o Google Sheets: =1000*(1+0.08)^20 da 4,660.96. También sirve =VF(0.08;20;0;-1000).

5. Despejar la tasa o el tiempo

A veces conoces el resultado y quieres saber la tasa o cuánto tardas.

Tasa necesaria:

i=(MC)1/n−1i = \left(\frac{M}{C}\right)^{1/n} - 1

Dónde: i = la tasa que buscas (por periodo, en decimal); M = monto final; C = capital inicial; n = número de periodos. El exponente 1/n significa "raíz n-ésima" (1/2 es la raíz cuadrada, 1/6 es la raíz sexta). En la calculadora: tecla ^ y luego (1÷6).

Ejemplo: $1,000 se convierten en $1,600 en 6 años. ¿Qué tasa anual fue?

Datos: M = 1,600 · C = 1,000 · n = 6 (años). Incógnita: i.

  1. Sustituye: i = (1,600 ÷ 1,000)^(1/6) − 1
  2. Divide: 1,600 ÷ 1,000 = 1.6
  3. Eleva a 1/6 (la raíz sexta): 1.6^(1/6) = 1.081484
  4. Resta 1: 1.081484 − 1 = 0.081484, que en porcentaje es 8.15% anual

Tiempo necesario:

n=ln⁡(M/C)ln⁡(1+i)n = \frac{\ln(M/C)}{\ln(1+i)}

Dónde: n = los periodos que buscas; ln = logaritmo natural (la tecla ln de la calculadora; sirve para "bajar" un exponente); M, C, i como antes.

Ejemplo: ¿Cuánto tarda $1,000 en llegar a $2,500 al 7% anual?

Datos: C = 1,000 · M = 2,500 · i = 0.07.

  1. Sustituye: n = ln(2,500 ÷ 1,000) ÷ ln(1 + 0.07)
  2. Divide: 2,500 ÷ 1,000 = 2.5, y suma: 1 + 0.07 = 1.07
  3. Con la tecla ln: ln(2.5) = 0.9163 y ln(1.07) = 0.0677
  4. Divide: 0.9163 ÷ 0.0677 = 13.54 años

Atajo: la regla del 72. Para saber en cuántos años se duplica un dinero, divide 72 entre la tasa en %:

an˜os para duplicar≈72tasa en %\text{años para duplicar} \approx \frac{72}{\text{tasa en \%}}

Dónde: el símbolo ≈ significa "aproximadamente igual"; "tasa en %" es el porcentaje sin pasarlo a decimal (8% → usa el 8).

Al 8%: 72 ÷ 8 = 9 años (comprobación: 1.08⁹ = 1.999, casi exacto). Al 6%: 72 ÷ 6 = 12 años (exacto: 11.90).

6. Cuando el interés se capitaliza varias veces al año

Si la tasa anual es i y se capitaliza m veces al año (mensual: m = 12, trimestral: m = 4):

M=C(1+im)m nM = C\left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m\,n}

Dónde: i = tasa anual (en decimal); m = cuántas veces al año se capitaliza; i/m = la tasa de cada periodo; m·n = el número total de periodos (m veces al año durante n años); C y M como antes.

Ejemplo: $5,000 al 6% anual capitalizado mensualmente durante 3 años.

Datos: C = 5,000 · i = 0.06 (anual) · m = 12 (mensual) · n = 3 (años).

  1. Sustituye: M = 5,000 × (1 + 0.06 ÷ 12)^(12 × 3)
  2. Tasa por mes: 0.06 ÷ 12 = 0.005 y número de meses: 12 × 3 = 36
  3. Factor: (1 + 0.005)³⁶ = 1.005³⁶ = 1.196681
  4. Monto: M = 5,000 × 1.196681 = $5,983.40

Tasa efectiva anual (TEA): lo que realmente rinde en un año cuando se capitaliza varias veces:

TEA=(1+im)m−1\text{TEA} = \left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m} - 1

Dónde: TEA = tasa efectiva anual; i = tasa nominal anual (en decimal); m = veces que se capitaliza al año.

Ejemplo: 12% anual capitalizado mensualmente.

Datos: i = 0.12 · m = 12.

  1. Sustituye: TEA = (1 + 0.12 ÷ 12)¹² − 1
  2. Tasa por mes: 0.12 ÷ 12 = 0.01, así que el paréntesis es 1.01
  3. Potencia: 1.01¹² = 1.126825
  4. Resta 1: 1.126825 − 1 = 0.126825 → 12.68%. Es más que el 12% "nominal" porque el interés se reinvierte cada mes.

Errores comunes

  • Usar la tasa en % (8) en vez de en decimal (0.08).
  • Mezclar unidades: tasa anual con meses, o al revés.
  • Usar interés simple cuando el dinero se reinvierte (casi siempre es compuesto).

Ejercicios para ti

Resuélvelos con calculadora y compara con las respuestas al final.

  1. $2,000 al 5% anual durante 10 años. Calcula el monto con interés simple y con interés compuesto.
  2. $3,000 al 4% anual capitalizado trimestralmente durante 5 años.
  3. ¿En cuántos años se duplica un dinero al 6% anual? Usa la regla del 72 y comprueba con la fórmula del tiempo.
  4. ¿Cuál es la tasa efectiva anual de un 9% nominal capitalizado mensualmente?

Respuestas: (1) simple $3,000.00; compuesto 2,000 × 1.05¹⁰ = $3,257.79. (2) i = 0.04 ÷ 4 = 0.01 por trimestre, n = 20: 3,000 × 1.01²⁰ = $3,660.57. (3) regla del 72: 72 ÷ 6 = 12 años; exacto: ln 2 ÷ ln 1.06 = 11.90 años. (4) (1 + 0.09/12)¹² − 1 = 1.0075¹² − 1 = 9.38%.

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