2. Opciones desde cero · Lección 4 de 8

Qué determina el precio de una opción

La prima de una opción tiene dos partes, y aprender a separarlas te dice cuánto pagas por tiempo e incertidumbre. Al final verás la fórmula de Black-Scholes calculada paso a paso.

Valor intrínseco y valor extrínseco

\text{Prima} = \text{Valor intrínseco} + \text{Valor extrínseco (valor tiempo)}

Qué significa cada palabra: Prima = el precio total de la opción; Valor intrínseco = la ganancia que tendrías si la ejercieras hoy; Valor extrínseco (valor tiempo) = lo que pagas de más por la posibilidad de que mejore antes de vencer. S = precio actual de la acción; K = strike (precio fijo del contrato); máx(a, b) = el mayor de los dos números.

Valor intrínseco: lo que vale ejercerla ahora mismo.

\text{Call: } \max(S - K,\ 0)

\text{Put: } \max(K - S,\ 0)

Valor extrínseco: todo lo demás: Prima − Valor intrínseco. Refleja cuánto puede moverse el precio antes del vencimiento.

Posición de la opción respecto al strike:

En el dinero (ITM): tiene valor intrínseco (call con S > K; put con S < K).
En el precio (ATM): S ≈ K.
Fuera del dinero (OTM): no tiene valor intrínseco (todo su valor es extrínseco).

Ejemplo

Acción a $105; call con strike $100 que cuesta $9.87; put con el mismo strike que cuesta $2.89.

	Valor intrínseco	Valor extrínseco	Estado
Call K = 100	máx(105 − 100, 0) = 5.00	9.87 − 5.00 = 4.87	En el dinero
Put K = 100	máx(100 − 105, 0) = 0.00	2.89 (todo extrínseco)	Fuera del dinero

(Las primas de este ejemplo salen del modelo de abajo con σ = 20%, 6 meses y tasa de 4%.)

Los factores que mueven el valor extrínseco

Tiempo hasta el vencimiento: más tiempo, más oportunidad de que el activo se mueva a favor → prima más cara.
Volatilidad esperada: activos más movidos (como el Bitcoin frente a un bono del Tesoro) tienen primas más caras.

Con el modelo de abajo (acción a $100, strike $100, tasa 4%) puedes ver ambos efectos en un call en el precio:

Tiempo al vencimiento	Prima del call (σ = 20%)
3 meses	$4.49
6 meses	$6.63
12 meses	$9.93

Volatilidad σ (6 meses)	Prima del call
10%	$3.89
20%	$6.63
30%	$9.39
50%	$14.90

Duplicar el tiempo no duplica la prima (crece como la raíz del tiempo); duplicar la volatilidad sí la acerca a duplicar. Y el valor extrínseco se reduce con el tiempo hasta llegar a cero en el vencimiento: se llama decaimiento temporal (theta). Por ejemplo, el call de 6 meses ($6.63) vale $5.84 cuando le quedan 4.8 meses (0.4 años): perdió $0.79 solo por el paso del tiempo.

El modelo de Black-Scholes, paso a paso

Para opciones europeas sobre una acción que no paga dividendos:

d_1 = \frac{\ln(S/K) + \left(r + \tfrac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}

C = S\,N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)

P = K e^{-rT} N(-d_2) - S\,N(-d_1)

Qué significa cada símbolo:

S = precio actual de la acción. K = strike.
r = tasa libre de riesgo anual, como decimal (4% = 0.04).
σ (sigma) = volatilidad anual (20% = 0.20). T = años hasta el vencimiento (6 meses = 0.5).
ln = logaritmo natural (tecla ln de la calculadora). √T = raíz cuadrada de T.
e = el número 2.71828… (tecla eˣ). e^(−rT) = el factor que trae el strike a valor presente.
N(x) = la probabilidad acumulada de la distribución normal estándar: un número entre 0 y 1 (se obtiene de una tabla o de la función DISTR.NORM.ESTAND.N en Excel).
d₁, d₂ = números intermedios que se calculan primero. C = precio del call. P = precio del put.

Ejemplo resuelto

Datos: S = 100, K = 100, r = 4%, σ = 20%, T = 0.5 años. Sustituimos en orden:

d₁: [ln(100/100) + (0.04 + 0.02) × 0.5] ÷ (0.20 × √0.5) = 0.03 ÷ 0.1414 = 0.2121
d₂: 0.2121 − 0.1414 = 0.0707
N(d₁) = 0.5840 y N(d₂) = 0.5282
Valor presente del strike: K e^(−rT) = 100 × e^(−0.02) = 98.02
Call: 100 × 0.5840 − 98.02 × 0.5282 = 58.40 − 51.77 = $6.63
Put: 98.02 × (1 − 0.5282) − 100 × (1 − 0.5840) = 46.25 − 41.60 = $4.65

Comprobación (paridad put-call): C − P = S − K e^(−rT) → 6.63 − 4.65 = 1.98 = 100 − 98.02 ✓.

El modelo supone volatilidad constante y no predice nada: traduce tus supuestos (σ y T) en un precio. El mercado real cobra la volatilidad implícita que él espera.

Errores comunes

Creer que una opción "barata" fuera del dinero es una ganga: es barata porque casi seguro vence sin valor.
Olvidar que el tiempo juega en contra del comprador y a favor del vendedor.
Comparar primas de opciones con distintos vencimientos o strikes sin ajustar.

Ejercicios para ti

Una acción vale $62; un call con strike $60 cuesta $5.10. ¿Cuál es su valor intrínseco y su valor extrínseco?
Un put con strike $60 con la acción a $62 cuesta $1.40. ¿Cuál es su valor intrínseco y extrínseco?

Respuestas: (1) Intrínseco = máx(62 − 60, 0) = $2.00; extrínseco = 5.10 − 2.00 = $3.10. (2) Intrínseco = máx(60 − 62, 0) = $0; extrínseco = $1.40 (toda la prima es valor tiempo).

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