Retornos simples vs. logarítmicos: por qué el cálculo prefiere los logaritmos

El precio de una acción de $500 no es "más caro" en ningún sentido útil que uno de $50: lo que importa es cuánto cambia en porcentaje. Hay dos formas de medir ese cambio.

¿Por qué y cuándo se usa esto? Absolutamente todo lo demás en este curso —volatilidad, correlación, beta, backtesting— se calcula sobre retornos, nunca sobre precios crudos. Es el primer paso obligatorio de cualquier análisis cuantitativo, sin excepción: si alguna vez ves a alguien correlacionar dos precios directamente (no sus retornos), desconfía del resultado.

Retorno simple:

Retorno logarítmico:

¿Por qué molestarse con el logaritmo? Por la serie de Taylor de $\ln(1+x)$ alrededor de $x=0$: con $f(x)=\ln(1+x)$, $f'(x)=\frac{1}{1+x}$, así que $f'(0)=1$ y la aproximación lineal es $\ln(1+x)\approx x$. Para retornos diarios pequeños, $\tilde r_t \approx r_t$ — casi no pierdes nada — pero ganas una propiedad muy poderosa: los retornos logarítmicos se suman en el tiempo, mientras que los simples no.

Esto es exactamente lo que permite anualizar, componer o descomponer el retorno de un período largo en la suma de sus partes diarias sin errores de aproximación acumulados.

Procedimiento paso a paso (a mano), para cualquier serie de precios:

1. Ordena los precios de cierre del más viejo al más reciente: $P_0, P_1, \dots, P_n$.
2. Para cada par consecutivo, calcula el retorno simple $r_t=(P_t-P_{t-1})/P_{t-1}$ y el logarítmico $\tilde r_t=\ln(P_t/P_{t-1})$.
3. Si necesitas el retorno de todo el período de una vez, suma los retornos logarítmicos $\sum \tilde r_t$ — nunca sumes los simples, se te acumula el error.
4. Para volver de un retorno log acumulado a un precio, usa $P_n = P_0\, e^{\sum \tilde r_t}$.

Ahora aplica el procedimiento:

Problema. Con los precios de cierre $100,\ 102,\ 101,\ 105$:

1. Calcula el retorno simple y el logarítmico de cada uno de los 3 días.
2. Suma los 3 retornos logarítmicos.
3. Compara esa suma con $\ln(105/100)$ directamente. ¿Coinciden?

Solución.

Suma de retornos log: $1.980\%-0.985\%+3.887\%=4.882\%$. Y directamente: $\ln(105/100)=4.879\%$ (la pequeñísima diferencia es redondeo). Coinciden — la suma de retornos simples ($2.00-0.98+3.96=4.98\%$) en cambio no coincide con el retorno total real ($5.00\%$ exacto). Esa es la ventaja práctica del logaritmo.

Practica tú (resuelve antes de mirar la respuesta). Con los precios $200,\ 196,\ 204,\ 210$: calcula los 3 retornos logarítmicos, súmalos, y compáralos con $\ln(210/200)$. Respuesta: ambos dan $\approx 4.88\%$ — coinciden, como siempre que uses logaritmos.

🔧 En código libre: numpy.diff(np.log(precios)) calcula esto en una línea; NumPy y pandas son el punto de partida estándar para cualquier serie de retornos.

📌 Para repasar: retorno simple $=\frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}$; retorno log $=\ln\!\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$. Los log-retornos se suman en el tiempo; los simples no. Para retornos diarios pequeños, ambos son casi iguales.