Media, varianza y los momentos que describen una distribución

¿Por qué y cuándo se usa esto? Antes de operar cualquier activo necesitas responder dos preguntas: ¿cuánto gana en promedio? y ¿cuánto se sacude alrededor de ese promedio? Media y varianza son la respuesta cuantitativa a ambas, y son el insumo de casi todo lo demás en este curso (Sharpe, correlación, GARCH).

Con una muestra de $n$ retornos $r_1,\dots,r_n$, dos estadísticos resumen su comportamiento:

La media es la ganancia promedio por período; $s$ (la raíz de $s^2$) es la volatilidad — la misma que usaste para el ratio de Sharpe. Pero una distribución de retornos no queda del todo descrita por solo dos números. Dos momentos más importan mucho en mercados reales:

Una curtosis positiva ("colas gordas") significa que los eventos extremos —crisis de 2008, marzo de 2020— ocurren con más frecuencia de la que predeciría una campana de Gauss perfecta. Casi todo activo financiero real tiene curtosis positiva.

Procedimiento paso a paso (a mano):

1. Suma todos los retornos y divide entre $n$ para obtener $\bar r$.
2. A cada retorno réstale $\bar r$ (la "desviación") y eleva al cuadrado cada una.
3. Suma esos cuadrados y divide entre $n-1$ (no entre $n$ — es la corrección de Bessel para muestras) para obtener $s^2$. La raíz cuadrada es $s$, tu volatilidad.
4. Si además quieres asimetría/curtosis, reusa las mismas desviaciones del paso 2, pero elevadas a la 3ª y 4ª potencia respectivamente, divididas entre $n$ (no $n-1$) y entre $s^3$/$s^4$.

Ahora aplica el procedimiento:

Problema. Con los retornos diarios $\{0.010,\ -0.020,\ 0.015,\ -0.010,\ 0.005\}$ calcula $\bar r$ y $s^2$ a mano.

Solución. $\bar r = (0.010-0.020+0.015-0.010+0.005)/5 = 0.000/5 = 0.000$. Desviaciones al cuadrado: $0.0001,\ 0.0004,\ 0.000225,\ 0.0001,\ 0.000025$, suma $=0.00085$. $s^2 = 0.00085/4 = 0.0002125$, así que $s\approx 1.458\%$ diario.

Practica tú (resuelve antes de mirar la respuesta). Con los retornos $\{0.02,\ 0.01,\ -0.03,\ 0.00,\ 0.02\}$, calcula $\bar r$ y $s$. Respuesta: $\bar r = 0.004$ (0.4%), $s \approx 2.07\%$.

🔧 En código libre: scipy.stats.skew y scipy.stats.kurtosis calculan asimetría y curtosis directamente; statsmodels ofrece describe() con todos los momentos juntos.

📌 Para repasar: $\bar r=\frac1n\sum r_i$ (retorno promedio); $s^2=\frac{1}{n-1}\sum (r_i-\bar r)^2$ (volatilidad al cuadrado). Curtosis positiva = colas más gordas que la normal = eventos extremos más frecuentes de lo que "debería".