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1. Cálculo aplicado a los retornos · Lección 3 de 14

La distribución normal, el z-score y por qué las crisis 'no deberían pasar'

¿Por qué y cuándo se usa esto? Se usa cada vez que quieres traducir "qué tan raro fue este movimiento" en un número comparable entre activos distintos (el z-score), y para poner límites de riesgo (ej. "avísame si el z-score pasa de 3"). El límite: asume que la distribución es normal, y los mercados reales no lo son del todo — por eso la lección termina evaluando ese supuesto.

La densidad de probabilidad normal con media μ\mu y desviación σ\sigma es:

f(x)=1σ2π e−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Para saber qué tan "extremo" es un movimiento, se estandariza con el z-score:

z=x−μσz = \frac{x-\mu}{\sigma}

Procedimiento paso a paso (a mano):

  1. Identifica μ\mu (retorno promedio) y σ\sigma (volatilidad) del activo, de la Lección 2.
  2. Réstale μ\mu al movimiento que quieres evaluar, xx.
  3. Divide entre σ\sigma: eso es el z-score.
  4. Interpreta con esta tabla mental rápida (memorizable, base de todo control de riesgo): más de ±2σ\pm2\sigma es inusual (~1 de cada 20 días bajo normalidad); más de ±3σ\pm3\sigma es raro (~1 de cada 370 días); en mercados reales, sucede bastante más seguido que eso.

Ahora aplica el procedimiento:

Problema. Un activo tiene retorno diario promedio μ=0.05%\mu=0.05\% y volatilidad diaria σ=1.2%\sigma=1.2\%. Ocurre un día de −3%-3\%. Calcula el z-score.

Solución. z=−0.03−0.00050.012≈−2.54z = \dfrac{-0.03-0.0005}{0.012} \approx -2.54. Bajo una normal perfecta, un movimiento de −2.54σ-2.54\sigma o peor ocurre con probabilidad de apenas ~0.55%, es decir, se esperaría una vez cada ~180 días de trading (menos de un año). En la práctica, movimientos así de fuertes ocurren con más frecuencia que eso en casi cualquier acción o índice real —evidencia directa de que la cola es más gorda de lo que la normal predice.

Practica tú (resuelve antes de mirar la respuesta). Mismo activo (μ=0.05%\mu=0.05\%, σ=1.2%\sigma=1.2\%), pero ahora el día fue de +2%+2\%. Calcula el z-score. Respuesta: z≈1.63z\approx 1.63 — notorio, pero no extremo.

🔧 En código libre: scipy.stats.norm da la normal; scipy.stats.t (t de Student, con colas más gordas) suele ajustar mejor los retornos reales que scipy.stats.norm.

📌 Para repasar: z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}. ∣z∣>2|z|>2 es inusual, ∣z∣>3|z|>3 es raro bajo una normal — pero los mercados reales tienen colas más gordas de lo que la normal predice.

Práctica paso a paso

z-score de un movimiento

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Un activo tiene retorno diario promedio μ = 0.05% y volatilidad diaria σ = 1.2%. Un día rindió -3%. ¿Qué tan inusual fue ese movimiento?

  1. 1Distancia al promedio

    Réstale el promedio al movimiento: x − μ = -3 − (0.05). En puntos porcentuales, 3 decimales.

    x−μx - \mu
    x−μ=−3−(0.05)=−3.05 ppx - \mu = -3 - (0.05) = -3.05\ \text{pp}

  2. 2z-score

    Divide esa distancia entre la volatilidad σ = 1.2. Redondea a 2 decimales.

    z=x−μσz = \dfrac{x-\mu}{\sigma}
    z=−3.051.2=−2.54z = \frac{-3.05}{1.2} = -2.54

    Un movimiento de -2.54σ es inusual (más de 2σ). Bajo una normal perfecta, pasar de ±2σ ocurre ~1 de cada 20 días y de ±3σ, ~1 de cada 370; en mercados reales ocurre más seguido.

  3. 3Umbral de un día inusual (−2σ)

    ¿A partir de qué retorno diario a la baja un día se considera inusual (z = −2) para este activo? Calcula μ − 2σ (en %). Redondea a 2 decimales.

    x=μ−2σx = \mu - 2\sigma
    μ−2σ=0.05−2×1.2=−2.35%\mu - 2\sigma = 0.05 - 2\times 1.2 = -2.35\%

    Si este activo cae más de 2.35% en un día, es un movimiento inusual.

Los errores que más se repiten

  • Olvidar restar el promedio (dividir x entre σ directamente).

  • Dividir entre la varianza σ² en vez de la desviación σ.

  • Perder el signo: un día de caída da z negativo.

  • Creer que |z| > 3 casi nunca ocurre: en mercados reales ocurre más seguido de lo que la normal predice.

  • Mezclar % con decimales (1.2% y 0.012).

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