invertisEDU
Dow JonesS&P 500
5. Volatilidad dinámica y procesos estocásticos · Lección 11 de 14

Movimiento browniano geométrico y las griegas como derivadas parciales

¿Por qué y cuándo se usa esto? Es la base matemática de todo el pricing de opciones moderno. Se usa cuando necesitas modelar un precio que se mueve al azar pero con una tendencia de fondo — y para entender qué es, literalmente, una "griega" (Delta, Gamma) que ves en cualquier plataforma de opciones.

El modelo continuo detrás de Black-Scholes describe el precio como una ecuación diferencial estocástica (SDE):

dSt=μSt dt+σSt dWtdS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t

Con cálculo ordinario, uno esperaría que d(ln⁡St)=μ dt+σ dWtd(\ln S_t) = \mu\,dt+\sigma\,dW_t. Pero el lema de Itô —la regla de la cadena del cálculo estocástico— agrega un término extra porque el movimiento browniano cumple (dWt)2=dt(dW_t)^2 = dt (su "variación cuadrática" no se anula, a diferencia del cálculo ordinario). Aplicando Itô a f(S)=ln⁡Sf(S)=\ln S:

d(ln⁡St)=(μ−12σ2)dt+σ dWt⟹St=S0exp⁡ ⁣[(μ−σ22)t+σWt]d(\ln S_t) = \left(\mu-\tfrac12\sigma^2\right)dt + \sigma\,dW_t \quad\Longrightarrow\quad S_t = S_0\exp\!\left[\left(\mu-\tfrac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right]

Ese término −σ2/2-\sigma^2/2 que tanta gente memoriza sin saber de dónde sale es, literalmente, la corrección de segundo orden del lema de Itô — no es un ajuste arbitrario.

Las griegas de una opción son, sin metáfora, derivadas parciales del precio V(S,t,σ)V(S,t,\sigma):

Δ=∂V∂S,Γ=∂2V∂S2,Θ=∂V∂t,Vega=∂V∂σ\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\quad \Gamma=\frac{\partial^2 V}{\partial S^2},\quad \Theta=\frac{\partial V}{\partial t},\quad \text{Vega}=\frac{\partial V}{\partial \sigma}

Procedimiento paso a paso (a mano), para calcular cualquier griega de una función de valor:

  1. Escribe la función de valor VV en términos de la variable que te interesa (precio SS, tiempo tt, volatilidad σ\sigma).
  2. Deriva VV respecto a esa variable, tratando las demás como constantes (derivada parcial).
  3. Evalúa esa derivada en el punto (precio actual, etc.) que te interesa — ese número es la griega.
  4. Para Gamma, deriva Delta una segunda vez respecto a SS.

Ahora aplica el procedimiento:

Problema (práctica de derivadas). Sea V(S)=S2−100SV(S) = S^2 - 100S una función de valor simplificada (no es Black-Scholes real, es para practicar el cálculo). Encuentra el equivalente de Δ=V′(S)\Delta=V'(S) y Γ=V′′(S)\Gamma=V''(S), y evalúalos en S=60S=60.

Solución. V′(S)=2S−100⇒Δ(60)=120−100=20V'(S)=2S-100 \Rightarrow \Delta(60) = 120-100=20 (por cada dólar que sube SS, VV sube aproximadamente $20\$20 cerca de ese punto). V′′(S)=2⇒Γ=2V''(S)=2 \Rightarrow \Gamma=2 (constante): la sensibilidad Δ\Delta misma crece 22 unidades por cada dólar adicional de SS — la curvatura de la función.

Practica tú (resuelve antes de mirar la respuesta). Con la misma V(S)=S2−100SV(S)=S^2-100S, evalúa Δ\Delta y Γ\Gamma en S=50S=50. Respuesta: Δ(50)=2(50)−100=0\Delta(50)=2(50)-100=0 (este es el punto donde VV deja de caer y empieza a subir); Γ=2\Gamma=2, igual que antes (es constante).

🔧 En código libre: QuantLib y FinancePy calculan las griegas reales de opciones; SymPy obtiene cualquier derivada simbólica automáticamente (sympy.diff); JAX y PyTorch permiten differenciación automática para calcular griegas de modelos numéricos sin fórmula cerrada — la técnica moderna cuando el precio no tiene solución analítica.

📌 Para repasar: las griegas son derivadas parciales del precio de una opción respecto a cada variable (SS, tt, σ\sigma). St=S0e(μ−σ2/2)t+σWtS_t=S_0 e^{(\mu-\sigma^2/2)t+\sigma W_t} — el −σ2/2-\sigma^2/2 viene del lema de Itô, no es arbitrario.

Práctica paso a paso

Delta y Gamma con derivadas

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Una función de valor simplificada es V(S) = 1·S² − 100·S. El precio está en S = 60 y sube 2 unidades. Calcula Delta (primera derivada), Gamma (segunda derivada) y estima el cambio de V.

  1. 1Delta (primera derivada)

    Deriva V(S) respecto a S: V′(S) = 2·a·S + b. Evalúa en S = 60.

    Δ=∂V∂S=2aS+b\Delta = \dfrac{\partial V}{\partial S} = 2aS + b
    V′(S)=2(1)(60)+(−100)=20V'(S) = 2(1)(60) + (-100) = 20

    Por cada unidad que sube S, V cambia aproximadamente 20 cerca de ese punto.

  2. 2Gamma (segunda derivada)

    Deriva otra vez: V″(S) = 2·a. Es la curvatura: cuánto cambia Delta por cada unidad que sube S.

    Γ=∂2V∂S2=2a\Gamma = \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2} = 2a
    V′′(S)=2(1)=2V''(S) = 2(1) = 2

    Gamma es constante aquí: Delta sube 2 unidades por cada unidad que suba S.

  3. 3Cambio estimado solo con Delta

    ΔV ≈ Delta × ΔS = Delta × 2.

    ΔV≈Δ⋅ΔS\Delta V \approx \Delta \cdot \Delta S
    ΔV≈20×2=40\Delta V \approx 20 \times 2 = 40

  4. 4Cambio con Delta y Gamma

    Añade la corrección de segundo orden: ΔV ≈ Delta·ΔS + ½·Gamma·(ΔS)², con ΔS = 2.

    ΔV≈Δ ΔS+12 Γ (ΔS)2\Delta V \approx \Delta\,\Delta S + \tfrac12\,\Gamma\,(\Delta S)^2
    ΔV≈40+12(2)(2)2=44\Delta V \approx 40 + \tfrac12(2)(2)^2 = 44

  5. 5Cambio real

    Comprueba: calcula V(62) − V(60) directamente con la función.

    V(S+ΔS)−V(S)V(S+\Delta S) - V(S)
    V(62)−V(60)=−2,356−(−2,400)=44V(62) - V(60) = -2,356 - (-2,400) = 44

    Coincide con la estimación de Delta + Gamma (44): para una función cuadrática la corrección de segundo orden es exacta. Con solo Delta el error sería de 4.

Los errores que más se repiten

  • Derivar mal la potencia: la derivada de S² es 2S, no S.

  • Confundir Delta (primera derivada) con Gamma (segunda derivada).

  • Olvidar el ½ en la corrección de segundo orden.

  • No elevar ΔS al cuadrado en el término de Gamma.

  • Olvidar que Delta es una aproximación local: vale cerca del punto donde se calculó.

← GARCH(1,1): modelando una volatilidad que cambia con el tiempo
Siguiente lección →