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2. Covarianza, correlación y regresión · Lección 4 de 14

Covarianza y el coeficiente de correlación de Pearson

¿Por qué y cuándo se usa esto? Se usa cada vez que armas o revisas una cartera con más de un activo: sin correlación no sabes si de verdad estás diversificando o si tienes 10 posiciones que en el fondo se mueven todas juntas. Es el número exacto detrás de la herramienta Análisis → Comparar activos de la plataforma.

Cov(X,Y)=1n∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)ρXY=Cov(X,Y)σX σY\text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) \qquad\qquad \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y}

ρ\rho vive siempre entre −1-1 y +1+1: +1+1 es moverse idéntico, 00 es no tener relación lineal, −1-1 es moverse exactamente al revés.

Procedimiento paso a paso (a mano):

  1. Calcula la media de cada serie, xˉ\bar x y yˉ\bar y.
  2. Para cada día, calcula las desviaciones (xi−xˉ)(x_i-\bar x) y (yi−yˉ)(y_i-\bar y) y multiplícalas entre sí.
  3. Suma esos productos y divide entre nn: eso es Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y).
  4. Calcula σX\sigma_X y σY\sigma_Y por separado (media de las desviaciones al cuadrado de cada serie, raíz cuadrada — como en la Lección 2).
  5. Divide la covarianza entre el producto de las dos desviaciones estándar: eso es ρXY\rho_{XY}.

Ahora aplica el procedimiento:

Problema. Retornos diarios de dos activos:

DíaXXYY
10.020.01
2-0.01-0.02
30.030.02
4-0.02-0.01

Calcula ρXY\rho_{XY}.

Solución. xˉ=0.005\bar x = 0.005, yˉ=0.000\bar y = 0.000. Desviaciones de XX: 0.015, −0.015, 0.025, −0.0250.015,\,-0.015,\,0.025,\,-0.025; de YY: 0.01, −0.02, 0.02, −0.010.01,\,-0.02,\,0.02,\,-0.01. Productos: 0.00015, 0.00030, 0.00050, 0.000250.00015,\,0.00030,\,0.00050,\,0.00025, suma =0.00120=0.00120, Cov=0.00030\text{Cov}=0.00030. Varianzas: σX2=(0.0152+0.0152+0.0252+0.0252)/4=0.000325⇒σX≈1.803%\sigma_X^2=(0.015^2+0.015^2+0.025^2+0.025^2)/4=0.000325 \Rightarrow \sigma_X\approx1.803\%; σY2=(0.012+0.022+0.022+0.012)/4=0.00025⇒σY=1.581%\sigma_Y^2=(0.01^2+0.02^2+0.02^2+0.01^2)/4=0.00025 \Rightarrow \sigma_Y=1.581\%. ρXY=0.00030/(0.01803×0.01581)≈0.998\rho_{XY}=0.00030/(0.01803\times0.01581)\approx 0.998 — casi perfectamente correlacionados.

Practícalo con datos reales: entra a Análisis → Comparar activos, elige dos activos y lee el coeficiente real que calcula la plataforma con esta misma fórmula sobre retornos diarios.

Practica tú (resuelve antes de mirar la respuesta). Con X={0.01, 0.02, −0.01, 0.00}X=\{0.01,\ 0.02,\ -0.01,\ 0.00\} y Y={−0.01, −0.02, 0.01, 0.00}Y=\{-0.01,\ -0.02,\ 0.01,\ 0.00\}, calcula ρXY\rho_{XY} (pista: fíjate en el patrón antes de calcular — ¿qué signo esperas?). Respuesta: ρXY=−1\rho_{XY}=-1: se mueven exactamente al revés.

🔧 En código libre: numpy.corrcoef o pandas.DataFrame.corr() — ambas hacen este cálculo sobre miles de observaciones en microsegundos.

📌 Para repasar: ρXY=Cov(X,Y)/(σXσY)\rho_{XY}=\text{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y), siempre entre −1-1 y +1+1. +1+1 = idéntico, 00 = sin relación lineal, −1-1 = espejo.

Práctica paso a paso

Correlación de Pearson paso a paso

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Retornos diarios de dos activos durante 4 días.

X: 2%, -1%, 3%, -2%

Y: 1%, -2%, 2%, -1%

¿Qué tan relacionados están? Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación ρ (usa n = 4 en todas las divisiones).

  1. 1Media de X

    Calcula el retorno promedio de X. Redondea a 3 decimales.

    xˉ=1n∑xi\bar x = \dfrac{1}{n}\sum x_i
    xˉ=2−1+3−24=0.5%\bar x = \frac{2 - 1 + 3 - 2}{4} = 0.5\%

  2. 2Media de Y

    Ahora el retorno promedio de Y. Redondea a 3 decimales.

    yˉ=1n∑yi\bar y = \dfrac{1}{n}\sum y_i
    yˉ=1−2+2−14=0%\bar y = \frac{1 - 2 + 2 - 1}{4} = 0\%

  3. 3Covarianza

    Para cada día multiplica (x − x̄) por (y − ȳ), suma los 4 productos y divide entre 4. Redondea a 3 decimales.

    Cov(X,Y)=1n∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)\text{Cov}(X,Y) = \dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)

    Productos: 1.5, 3, 5, 2.5.

    Cov=124=3 %2\text{Cov} = \frac{12}{4} = 3\ \%^2

  4. 4Desviación estándar de X

    Eleva al cuadrado las desviaciones de X, promédialas (÷ 4) y saca la raíz. Redondea a 3 decimales.

    σX=1n∑(xi−xˉ)2\sigma_X = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^2}
    σX=2.062%\sigma_X = 2.062\%

  5. 5Desviación estándar de Y

    Lo mismo con los valores de Y. Redondea a 3 decimales.

    σY=1n∑(yi−yˉ)2\sigma_Y = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum (y_i-\bar y)^2}
    σY=1.581%\sigma_Y = 1.581\%

  6. 6Coeficiente de correlación ρ

    Divide la covarianza entre el producto de las dos desviaciones estándar: ρ = Cov ÷ (σX · σY). Redondea a 3 decimales; debe quedar entre −1 y +1.

    ρXY=Cov(X,Y)σX σY\rho_{XY} = \dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y}
    ρ=32.062×1.581=0.92\rho = \frac{3}{2.062 \times 1.581} = 0.92

    Los dos activos son muy parecidos (diversifican poco).

Los errores que más se repiten

  • Mezclar n con n − 1: usa el mismo divisor en la covarianza y en las desviaciones.

  • Olvidar multiplicar las desviaciones de X por las de Y (elevar solo una al cuadrado).

  • No dividir entre σX · σY y presentar la covarianza como si fuera la correlación.

  • Usar la media equivocada (la de X con los valores de Y).

  • Creer que correlación 0 significa que los activos son independientes: solo dice que no hay relación lineal.

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