GARCH(1,1): modelando una volatilidad que cambia con el tiempo

¿Por qué y cuándo se usa esto? Se usa cuando la volatilidad "de ayer" no es un buen pronóstico de la volatilidad "de hoy" bajo el supuesto simple — es decir, casi siempre. Bancos y fondos usan modelos como GARCH para ajustar límites de riesgo día a día, no una vez al año.

Asumir volatilidad constante es cómodo pero falso: después de un choque grande, los mercados suelen quedar más volátiles por un tiempo ("agrupamiento de volatilidad"). El modelo GARCH(1,1) lo captura con una fórmula recursiva:

con $\omega>0$, $\alpha,\beta\ge 0$ y $\alpha+\beta<1$ (condición de estacionariedad). La varianza de largo plazo a la que el proceso siempre regresa es $\sigma_\infty^2 = \dfrac{\omega}{1-\alpha-\beta}$.

Procedimiento paso a paso (a mano), para proyectar la volatilidad de mañana:

1. Consigue $\omega$, $\alpha$, $\beta$ (se estiman con datos históricos; aquí se dan) y la varianza de hoy $\sigma_{t-1}^2$.
2. Observa el choque de hoy: $\varepsilon_{t-1}$, el retorno de hoy menos su media esperada.
3. Sustituye los tres en $\sigma_t^2=\omega+\alpha\varepsilon_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2$ para obtener la varianza proyectada de mañana.
4. Repite el proceso día a día: la $\sigma_t^2$ de hoy se vuelve la $\sigma_{t-1}^2$ de mañana.
5. Verifica $\alpha+\beta<1$: si no se cumple, el modelo no es estable (la volatilidad "explotaría" sin límite).

Ahora aplica el procedimiento:

Problema. Con $\omega=0.00001$, $\alpha=0.08$, $\beta=0.90$, $\sigma_0^2=0.00020$, y choques observados $\varepsilon_1=-0.03$, $\varepsilon_2=0.01$:

1. Calcula $\sigma_1^2$ y $\sigma_2^2$.
2. Calcula la varianza de largo plazo $\sigma_\infty^2$ y compárala con $\sigma_2^2$.

Solución.

1. $\sigma_1^2 = 0.00001+0.08(0.03)^2+0.90(0.00020) = 0.00001+0.000072+0.00018 = 0.000262$ ($\sigma_1\approx1.619\%$). $\sigma_2^2 = 0.00001+0.08(0.01)^2+0.90(0.000262) = 0.00001+0.000008+0.0002358 = 0.0002538$ ($\sigma_2\approx1.593\%$).
2. $\sigma_\infty^2 = 0.00001/(1-0.08-0.90) = 0.00001/0.02 = 0.0005$ ($\sigma_\infty\approx2.236\%$). Después de un choque grande, $\sigma_2^2$ ($0.0002538$) sigue muy por debajo de la varianza de largo plazo — normal justo después de iniciar la serie, y muestra por qué GARCH necesita muchas observaciones para "olvidar" el punto de partida.

Practica tú (resuelve antes de mirar la respuesta). Con los mismos $\omega, \alpha, \beta$ y $\sigma_2^2=0.0002538$ (del paso anterior), llega un choque grande $\varepsilon_3=-0.05$. Calcula $\sigma_3^2$. Respuesta: $\sigma_3^2=0.00001+0.08(0.05)^2+0.90(0.0002538)\approx 0.000438$ ($\sigma_3\approx 2.09\%$) — el choque grande subió la volatilidad proyectada.

🔧 En código libre: el paquete arch (de Kevin Sheppard) es el estándar en Python para ajustar GARCH y familia; statsmodels.tsa cubre el resto de series de tiempo (ACF, ARIMA) que normalmente se revisa antes de llegar a GARCH.

📌 Para repasar: $\sigma_t^2=\omega+\alpha\varepsilon_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2$, con $\alpha+\beta<1$. La volatilidad "recuerda" los choques recientes y decae hacia $\sigma_\infty^2=\omega/(1-\alpha-\beta)$.