Convexidad: la segunda derivada que corrige el error de duración

¿Por qué y cuándo se usa esto? Se usa cuando el movimiento de tasas es grande (crisis, cambios abruptos de política monetaria) y la aproximación lineal de la duración ya no alcanza — es la diferencia entre una estimación de riesgo aproximada y una realmente precisa.

La duración es solo la aproximación lineal (primer orden) de Taylor. La convexidad agrega el término de segundo orden:

Procedimiento paso a paso (a mano):

1. Deriva $P(y)$ dos veces para obtener $d^2P/dy^2$.
2. Divide entre $P$ para obtener $C$.
3. Estima $\Delta P/P$ sumando el término de duración (lineal) más el término de convexidad ($\tfrac12 C(\Delta y)^2$ — nota que este término siempre suma, sin importar si la tasa sube o baja, porque está al cuadrado).
4. Compara contra el precio exacto recalculando $P(y+\Delta y)$ directamente, para ver cuánto error queda incluso con la corrección de segundo orden.

Ahora aplica el procedimiento:

Problema. Con el mismo bono cupón cero ($n=5$, $F=\$1{,}000$, $y=6\%$, $P=\$747.26$):

1. Calcula $\dfrac{d^2P}{dy^2} = n(n+1)F(1+y)^{-(n+2)}$ y luego $C$.
2. Usa duración + convexidad para estimar $\Delta P$ si $y$ sube a $8\%$ ($\Delta y = 0.02$, un cambio grande).
3. Compara contra el precio exacto a $y=8\%$ y contra la estimación de solo-duración.

Solución.

1. $\dfrac{d^2P}{dy^2} = 5(6)(1000)(1.06)^{-7} = 30{,}000 \times 0.6651 = 19{,}953$. $C = 19{,}953/747.26 = 26.70$.
2. -0.08902$$, es decir $$\Delta P\approx -\$66.53 \Rightarrow P\approx \$680.73$$.
3. Precio exacto: $1000(1.08)^{-5}=\$680.58$ (diferencia de solo $\$0.15$). La estimación de solo duración daría $P\approx 1000\times(1-0.09436)\times... \approx \$677.68$, error de $\$2.90$ — casi 20 veces peor que incluir la convexidad. Para movimientos de tasa grandes, la segunda derivada deja de ser un detalle académico.

Practica tú (resuelve antes de mirar la respuesta). Con $D_{mod}=9.52$ y $C=95$ (valores típicos de un bono a 10 años), estima $\Delta P/P$ si $\Delta y=+0.01$ (1%). Respuesta: $-9.52(0.01)+\tfrac12(95)(0.01)^2=-0.0952+0.00475=-9.05\%$ — la convexidad "amortigua" un poco la caída que predeciría solo la duración ($-9.52\%$).

🔧 En código libre: las mismas QuantLib / FinancePy calculan convexidad junto con duración; OpenGamma Strata (Java, libre) es el motor de analítica de renta fija que usan varias instituciones.

📌 Para repasar: $C=\frac1P\frac{d^2P}{dy^2}$; $\frac{\Delta P}{P}\approx -D_{mod}\Delta y+\tfrac12 C(\Delta y)^2$. La convexidad importa más mientras más grande sea el movimiento de tasas.