El precio de un bono como función del rendimiento

¿Por qué y cuándo se usa esto? Todo bono (y todo fondo de renta fija) cambia de precio cuando cambian las tasas de interés. La duración es la herramienta que usa cualquier gestor de renta fija para responder, en segundos, "si la Fed sube la tasa 0.5%, ¿cuánto pierdo?" — sin tener que recalcular el precio completo del bono.

El precio de un bono es una función del rendimiento (yield) $y$:

La duración modificada mide la sensibilidad del precio a cambios en $y$ usando la primera derivada:

Procedimiento paso a paso (a mano), para estimar el impacto de un cambio de tasa:

1. Escribe $P(y)$, el precio del bono en función del rendimiento.
2. Deriva: $dP/dy$ (para un cupón cero es simple; para un bono con cupones, deriva cada término de la suma por separado).
3. Divide entre $-P$ para obtener $D_{mod}$.
4. Multiplica $D_{mod}$ por el cambio de tasa esperado $\Delta y$ (con signo negativo) para estimar el cambio porcentual de precio.
5. Si $\Delta y$ es grande, no te quedes solo aquí — pasa a la siguiente lección (convexidad).

Ahora aplica el procedimiento:

Problema. Para simplificar la derivada, usa un bono cupón cero a $n=5$ años, valor facial $F=\$1{,}000$, con $y=6\%$: $P(y)=F(1+y)^{-n}$.

1. Calcula $P(0.06)$.
2. Deriva $P(y)$ respecto a $y$ y evalúa en $y=0.06$.
3. Calcula $D_{mod}$ y estima $\Delta P$ si $y$ sube a $6.5\%$.
4. Compara con el precio exacto recalculado a $y=6.5\%$.

Solución.

1. $P(0.06) = 1000(1.06)^{-5} = \$747.26$.
2. $\dfrac{dP}{dy} = -nF(1+y)^{-(n+1)} = -5(1000)(1.06)^{-6} = -\$3{,}525.75$.
3. $D_{mod} = -\dfrac{1}{747.26}(-3525.75) = 4.718$ años. Con $\Delta y=+0.005$: $\Delta P \approx -4.718 \times 747.26 \times 0.005 \approx -\$17.63$, es decir $P\approx \$729.63$.
4. Precio exacto: $1000(1.065)^{-5} = \$729.88$. La aproximación lineal (duración) se equivocó por apenas $\$0.25$ — muy cerca, porque el cambio de tasa fue pequeño.

Practica tú (resuelve antes de mirar la respuesta). Bono cupón cero a $n=10$ años, $F=\$1{,}000$, $y=5\%$. Calcula $D_{mod}$. Pista: para un cupón cero, $D_{mod}=n/(1+y)$. Respuesta: $D_{mod}=10/1.05\approx 9.52$ años.

🔧 En código libre: QuantLib y FinancePy calculan duración de bonos reales (con cupones, calendarios, convenciones de día) en una línea; SymPy puede obtener la derivada simbólica automáticamente con sympy.diff en vez de hacerlo a mano.

📌 Para repasar: $D_{mod}=-\frac1P\frac{dP}{dy}$; $\frac{\Delta P}{P}\approx -D_{mod}\Delta y$. Para un cupón cero, $D_{mod}=n/(1+y)$: a mayor plazo, mayor sensibilidad a las tasas.