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2. Covarianza, correlación y regresión · Lección 5 de 14

Regresión lineal: derivando beta con cálculo, no de memoria

¿Por qué y cuándo se usa esto? Beta es el número que responde "si el mercado sube o baja 1%, ¿cuánto se espera que se mueva esta acción?" — se usa para dimensionar riesgo de cartera, cubrir posiciones (hedging) y como insumo del CAPM para estimar el retorno esperado de un activo.

El modelo de mercado (base del CAPM) propone ri=α+β rm+εr_i = \alpha + \beta\, r_m + \varepsilon. Para encontrar la mejor recta, se minimiza la suma de errores al cuadrado:

SSE(α,β)=∑i=1n(ri−α−β rm,i)2SSE(\alpha,\beta) = \sum_{i=1}^{n}\left(r_i - \alpha - \beta\, r_{m,i}\right)^2

Esto es un problema de cálculo de mínimos: se deriva parcialmente respecto a cada parámetro y se iguala a cero.

∂SSE∂α=−2∑i=1n(ri−α−βrm,i)=0∂SSE∂β=−2∑i=1nrm,i(ri−α−βrm,i)=0\frac{\partial SSE}{\partial \alpha} = -2\sum_{i=1}^n\left(r_i-\alpha-\beta r_{m,i}\right) = 0 \qquad \frac{\partial SSE}{\partial \beta} = -2\sum_{i=1}^n r_{m,i}\left(r_i-\alpha-\beta r_{m,i}\right) = 0

Resolviendo ese sistema de dos ecuaciones (queda como ejercicio algebraico expandir y despejar) se llega a la fórmula que probablemente ya conocías, pero ahora sabes de dónde sale:

β=Cov(r,rm)Var(rm)α=rˉ−β rˉm\beta = \frac{\text{Cov}(r,r_m)}{\text{Var}(r_m)} \qquad\qquad \alpha = \bar r - \beta\,\bar r_m

Problema (derivación). Parte de ∂SSE∂α=0\frac{\partial SSE}{\partial \alpha}=0 y despeja α\alpha en función de β\beta, rˉ\bar r y rˉm\bar r_m.

Solución. −2∑(ri−α−βrm,i)=0⇒∑ri−nα−β∑rm,i=0⇒α=∑rin−β∑rm,in=rˉ−β rˉm-2\sum(r_i-\alpha-\beta r_{m,i})=0 \Rightarrow \sum r_i - n\alpha - \beta\sum r_{m,i}=0 \Rightarrow \alpha = \frac{\sum r_i}{n}-\beta\frac{\sum r_{m,i}}{n} = \bar r - \beta\,\bar r_m — exactamente la fórmula de arriba, obtenida desde la condición de primer orden.

Procedimiento paso a paso (a mano), para calcular beta de cualquier par activo/mercado:

  1. Consigue pares de retornos diarios (activo, mercado) para el mismo período.
  2. Calcula Cov(r,rm)\text{Cov}(r,r_m) igual que en la Lección 4 (covarianza entre las dos series).
  3. Calcula Var(rm)\text{Var}(r_m): la varianza (Lección 2) de la serie del mercado solamente.
  4. Divide: β=Cov(r,rm)/Var(rm)\beta=\text{Cov}(r,r_m)/\text{Var}(r_m).
  5. Si quieres también α\alpha: α=rˉ−β rˉm\alpha=\bar r-\beta\,\bar r_m.

Ahora aplica el procedimiento:

Problema (numérico). Usando los mismos datos de XX (activo) y YY (mercado) de la lección anterior, calcula β\beta. Pista: ya calculaste Cov=0.00030\text{Cov}=0.00030 y σY2=0.00025\sigma_Y^2=0.00025. Resultado: β=0.00030/0.00025=1.2\beta = 0.00030/0.00025 = 1.2 — el activo se mueve un 20% más que el mercado.

Practica tú (resuelve antes de mirar la respuesta). Si Cov(r,rm)=0.00018\text{Cov}(r,r_m)=0.00018 y Var(rm)=0.00040\text{Var}(r_m)=0.00040, ¿cuánto vale β\beta? ¿Este activo es más o menos volátil que el mercado? Respuesta: β=0.45\beta=0.45 — se mueve menos de la mitad que el mercado (defensivo).

🔧 En código libre: statsmodels.OLS o sklearn.linear_model.LinearRegression resuelven este mismo sistema de ecuaciones normales para miles de puntos al instante.

📌 Para repasar: β=Cov(r,rm)/Var(rm)\beta=\text{Cov}(r,r_m)/\text{Var}(r_m). β>1\beta>1 = más volátil que el mercado; β<1\beta<1 = más defensivo; β<0\beta<0 = se mueve al revés del mercado.

Práctica paso a paso

Beta y alfa frente al mercado

Mira cómo se resuelve completo y por qué se hace cada paso.

Retornos diarios de una acción y del mercado durante 4 días.

Acción: 2%, -1%, 3%, -2%

Mercado: 1%, -2%, 2%, -1%

Calcula su beta (β) y su alfa (α). Usa n = 4 en las divisiones; el cociente de β da lo mismo con n − 1 si lo usas en las dos.

  1. 1Covarianza acción–mercado

    Calcula Cov(r, r_m): promedia (r − r̄) × (r_m − r̄_m) con n = 4. Redondea a 3 decimales.

    Cov(r,rm)=1n∑(ri−rˉ)(rm,i−rˉm)\text{Cov}(r, r_m) = \dfrac{1}{n}\sum (r_i-\bar r)(r_{m,i}-\bar r_m)
    Cov(r,rm)=3 %2\text{Cov}(r, r_m) = 3\ \%^2

  2. 2Varianza del mercado

    Calcula Var(r_m): promedia las desviaciones al cuadrado del mercado (÷ 4). Redondea a 3 decimales.

    Var(rm)=1n∑(rm,i−rˉm)2\text{Var}(r_m) = \dfrac{1}{n}\sum (r_{m,i}-\bar r_m)^2
    Var(rm)=2.5 %2\text{Var}(r_m) = 2.5\ \%^2

  3. 3Beta

    Divide la covarianza entre la varianza del mercado. Redondea a 3 decimales.

    β=Cov(r,rm)Var(rm)\beta = \dfrac{\text{Cov}(r, r_m)}{\text{Var}(r_m)}
    β=32.5=1.2\beta = \frac{3}{2.5} = 1.2

    Por cada 1% que se mueve el mercado, esta acción se mueve ~1.2%: es más volátil que el mercado.

  4. 4Alfa

    Calcula α = r̄ − β · r̄_m (promedio de la acción menos beta por el promedio del mercado), en %. Redondea a 3 decimales.

    α=rˉ−β rˉm\alpha = \bar r - \beta\,\bar r_m
    α=0.5−1.2×0=0.5%\alpha = 0.5 - 1.2 \times 0 = 0.5\%

    Un α positivo es rendimiento extra que el mercado no explica; con solo 4 días no es una conclusión fiable (necesitas cientos de datos).

Los errores que más se repiten

  • Usar la varianza de la acción en vez de la del mercado.

  • Dividir al revés (Var ÷ Cov).

  • Mezclar n y n − 1 entre la covarianza y la varianza.

  • Olvidar restar β × media del mercado al calcular α.

  • Sacar conclusiones con muy pocos datos: una beta o un alfa de 4 días no significa casi nada.

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